我是第幾類素數

匈牙利數學家愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

 

誰是愛爾特希

若說愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996) 或譯作愛多士、愛多什、厄多斯、艾狄胥等,是二十世紀最傳奇的數學家  (Mathematician) 之一。他出生自匈牙利一猶太人家庭,他是一自由主義者 (Liberalist),他相識滿天下,但他卻沒有一份穩定的工作:也許這正是他喜歡的生活方式,不需為工作或溫飽長居一地,一生可到處的旅遊和講學,正如他的名言「另一個屋頂,另一個證明。」(Another roof, another proof) 所示。他只依靠演講費來支付機票和研究數學的獎金。要體會他的一生是多忙碌,可以看看 1979年 12月的旅行日程:

星期四在美國的聖克拉克 (Santa Clara) 參加數論會議,星期六將出席在加拿大的溫尼伯 (Winnipeg) 舉行的數論 (Number Theory) 與計算討論會,晚上在一間匈牙利餐廳接受宴請,星期天即飛往多倫多 (Toronto),從機場直接到滑鐵盧 (Waterloo) 郊遊並討論,晚上回多倫多搭飛機到倫敦 (London),因為星期一上午 11 時在帝國學院 (Imperial College) 安排了演講,接著再到墨西哥城 (Mexico City),折回美國到得克薩斯 (Texas)、佛羅里達 (Florida)、孟菲斯 (Memphis)。然後是去蘇黎世 (Zurich),回到布達佩斯 (Budapest) 之後,將去印度 (India)。

 

愛爾特希不停的作數學研究,也不斷的提出猜想 (Conjecture),但不是每一個數學家也可以和他一樣的。他認為一個數學家若沒有新的發現,便和死掉無異。

愛爾特希終身不娶,和母親一起,也和一群男性為主的數學家一同。或許如此,有人或以為愛爾特希不喜歡女性,喜歡男性。是故也不時看見一些評論說他是同性戀或戀母狂等。但我則不認同,我認為愛爾特希不喜歡女性,是因為他對女性沒有興趣,男性亦然。或許除了數學以外,沒有一樣東西令他動心。

我們可以說他是一個「數學遊俠」,沒有固定的家,也沒有固定的工作。這「數學遊俠」在 1983 年和陳省身一同獲得沃爾夫獎 (Wolf Prize) ,可以是對他的貢獻的一個肯定。但愛爾希特卻把那 50000 美元的獎金大部份捐贈給海法大學 (University of Haifa),設立了一個紀念他母親的教席,只留 720 美元己用。

 

愛爾特希從是數學研究的方法是獨特的。他發表了 1475 篇論文或專著,這亦是發表論文最多的數學家,比瑞士數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) 的 886 篇還要多 (但歐拉發表了很多和天文、物理相關的論文,這是愛爾特希沒法比較的)。但愛爾特希的論文中只有約 1/3 是他獨自完成,其餘的都是合著的。據聞愛爾特希在其晚年依然清楚記得自己的論文和合著者。而其他的數學家以能和愛爾特希完成合著為榮。

 

愛爾特希數

數學界有所謂的愛爾特希數 (Erdos Number) 的定義:愛爾特希本人的愛爾特希數為 0;能和愛爾特希完成合著的數學家稱為愛爾特希數 = 1;能和愛爾特希數 = 1 的數學家完成合著的數學家稱為愛爾特希數 = 2,如此類推;沒有和擁有有限愛爾特希數的人完成合著的數學家的愛爾特希數便為「無限」。

數學家格羅斯曼 (Jerry Grossman 1948- ) 正進行一個名叫「愛爾特希數」的計劃 (Erdos Number Project, 可參考 http://www.oakland.edu/enp/ )。 直至 2004年七月,被評為愛爾特希數 = 1 的數學家有 509 人;愛爾特希數 = 2 的數學家有 6593 人;愛爾特希數 = 3 的數學家有 33605 人。其中愛爾特希數 = 1 的數學家中亦包括我國數學家王建方 (Jianfang Wang 1937- )。

在 1999年終,研究人員發現,菲爾茲獎 (Fields Medals, 數學界的諾貝爾獎) 得主,至少都有愛爾特希數 5。我們可見愛爾特希的影響力。

 

把素數分類

現在讓我們進入愛爾特希的數世界,管窺一些他的奇思妙想。愛爾特希的和美國數學家塞爾弗里奇 (John L. Selfridge 1953- ) 作了一個有趣的素數分類法,我們稱之為愛爾特希 - 塞爾弗里奇素數分類法 (Erdos - Selfridge Prime Classification)。方法如下:

素數 p 在類 1+ 中即 p+1 的素因子僅 2 和 3 ;p 在類 r中即 p+1 的每一個素因子都在它前面 r-1 個類別中出現,且至有 1 個素因子是屬於類 r-1。

這個分類法中每個類別,我們習慣在其數字後加上「+」號。

 

例:

素數 p = 11,p + 1 = 12 = 22 * 3,所以 素數 11 是屬於「1+」。

素數 p = 43,p + 1 = 44 = 22 * 11,因為 2、3、11都是屬於「1+」的,故素數 43 是屬於「 2+」。

素數 p = 773,p + 1 = 774 = 2 * 32 * 43,因為 2、3 都是屬於「 1+」的,而 43 是屬於「2+」的,故素數 773 是屬於「3+」。

 

如:

「1+」
2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 431, 647, 863, 971, ...
 
「2+」

13, 19, 29, 41, 43, 59, 61, 67, 79, 83, 89, 97, 101, 109, 131, 137, 139, 149, 167, 179, 197, 199, 211, 223, 229, 239, 241, 251, 263, 269, 271, 281, 283, 293, 307, 317, 319, 359, 367, 373, 377, 383, 419, 439, 449, 461, 467, 499, 503, 509, 557, 563, 577, 587, 593, 599, 619, 641, 643, 659, 709, 719, 743, 751, 761, 769, 809, 827, 839, 881, 919, 929, 953, 967, 979, 991, ...

 
「3+」
37, 103, 113, 151, 157, 163, 173, 181, 193, 227, 233, 257, 277, 311, 331, 337, 347, 353, 379, 389, 397, 401, 409, 421, 457, 463, 467, 487, 491, 521, 523, 541, 547, 571, 601, 607, 613, 631, 653, 683, 701, 727, 733, 773, 787, 811, 821, 829, 853, 857, 877, 883, 911, 937, 947, 983, 997, ...
 
「4+」
73, 313, 443, 617, 661, 673, 677, 691, 739, 757, 823, 887, 907, 941, 977, ...

已證明每一類別的素數個數均為無限個之多。我們以 p1(r)表示類 r 中最小的一個素數: p1(1)=2, p1(2)=13, p1(3)=37, p1(4)=73, p1(5)=1321,... 愛爾特希認為 [p1(r)](1/r)是會趨向無限大,當 r 愈大。但塞爾弗里奇則認為這會有界 (Bounded)。誰對誰非,日後才會有分曉。

若我們把 p+1 取代成 p-1 ,我們則有另一分類法。同理,這個分類法中每個組別,我們習慣在其數字後加上「-」號。

 

例:

「1-」
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 433, 487, 577, 769, ...
 
「2 -」

11, 29, 31, 41, 43, 53, 61, 71, 79, 101, 103, 113, 127, 131, 137, 149, 151, 157, 181, 191, 197, 211, 223, 229, 237, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 379, 389, 401, 409, 421, 439, 443, 449, 457, 491, 521, 541, 547, 571, 593, 601, 613, 631, 641, 647, 653, 673, 677, 701, 751, 757, 761, 773, 811, 877, 883, 911, 919, 937, 953, 971, ...

 
「3 -」
23, 59, 67, 83, 89, 107, 173, 199, 227, 233, 263, 311, 317, 331, 349, 353, 367, 373, 383, 397, 419, 431, 463, 479, 503, 509, 523, 563, 569, 587, 607, 617, 619, 661, 683, 727, 733, 739, 743, 787, 809, 821, 823, 853, 859, 881, 887, 907, 929, 947, 977, 983, 991, ...
 
「4 -」
47, 139, 167, 179, 269, 277, 347, 461, 467, 499, 599, 643, 691, 709, 797, 827, 829, 839, 857, 863, 967, 993, ...
 
「5 -」
283, 359, 557, 659, 941, ...
 
「6 -」
719, ...

對此分類法,性質和上一類相似。唯在兩分類法中對應類別的密度 (Density) 是否相等?我們真很有興趣。

 

參考文獻及網址:

Guy, R. K. §A18 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 77, 1994.

王元 ; 李文林譯 , 布魯斯.謝克特著 , 我的大腦敞開了 - 數學怪才愛多士 , 上海 : 上海世紀出版社 , 2005

張奠宙 , 20世紀數學經緯 , 上海 : 華東師範大學出版社 , 2002