介紹兩個數學符號

階乘

本文為各位介紹兩個數學運算符號,一個常用,一個少用。

先談一談常用的一個,階乘 (Factorial) ,記作 N!,當中 N 為非負整數。

N! = N*(N-1)*(N-2)*...*1,其中 N > 0,另 0! = 1,像是階梯一級一級的乘下,故以階乘為名。

如 4! = 4*3*2*1 = 24, 5! = 5*4*3*2*1 = 120,

我們不難發現一些關於階乘的數式,如 N! = N*(N-1)! 等,另外階乘在概率論 (Probability)、組合數學 (Combinatorics) 也有一定的運用。

其實階乘和自然對數的底 (Base of Natural Logarithm),即 e 有莫大關係:

 

多階乘

我們把階乘的定義引申,定義N!! = N*(N-2)*(N-4)*...,若 N 為偶數,則乘至 2;若 N 為 奇數,則乘至 1;而 0!! = 0。這我們稱為雙階乘 (Double Factorial)。

若 N為偶數,設 N = 2k ,則有

N!! = N*(N-2)*(N-4)* ... *2 = (2*k)[2*(k-1)]*[2*(k-2)]*.... * (2*1) = 2k * k!

當然我們也可以以同一方法定義三階乘 (Triple Factorial) 等,統稱「多階乘」 (Multifactorial)。為了方便書寫,我們會把 n 階乘記作 N!n,如 10!3 = 10*7*4*1,20!4 = 20*16*12*8*4 等。

 

素連乘與合連乘

另一個比較少人使用的運算符號為素連乘 (Primorial),記作 P# , P 為素數。P# 為所有不多於 P 的所有素數的連乘積。如 5# = 5*3*2 = 30, 11# = 11*7*5*3*2 = 2310等。當然我們可以把 P 推廣至 N ,即 N# 不多於 N 的所有素數 (Prime Number) 連續乘起來的積,如 6# = 5# = 30, 12# = 11# = 2310 等。

最後我們要表達某一數 N 內的所有合數 (Composite Number) 連續乘起來的積,怎樣寫出來?

我們可以記成 N!/N# ,本人稱之為「合連乘」(Compositoral),如 5!/5# = 4*1 = 4 ,6!/6# = 6 * 4* 1 = 24 。

不只階乘和自然對數的底 e 有關,素連乘也一樣:

 

參考文獻及網址:

Weisstein, E. W. "Double Factorial." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/DoubleFactorial.html.

Weisstein, E. W. "Factorial." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html.

Weisstein, E. W. "Multifactorial." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Multifactorial.html.

Weisstein, E. W. "Primorial." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Primorial.html.