素連乘與合連乘素數

素連乘素數 (Primorial Prime) 指型如 p# +/- 1 之素數 (關於 p# 之定義可參考另文《介紹兩個數學符號》)。其中 型如 p# + 1 又稱作歐幾里德數 (Euclid Number 或 Euclidean Number)，當中素數者便是歐幾里德素數 (Euclid Prime 或 Euclidean Prime)。為何有此名字？只是因為歐幾里德 (Euclid 約前325 - 約前265) 證明素數個數乃無限 (詳見另文《天下素數有多少》) 時利用了此數，因而得名。

型如 p# + 1 之素數如 2# + 1 = 3、3# + 1 = 7、5# + 1 = 31 等。對應的第 n個素數 p 值 p# + 1 為素數的 n 值為 1, 2, 3, 4, 5, 11, 75, 171, 172, 384, 457, 616, 643, 1391, 1613, 2122, 2647, 2673, 4413, 13494, 31260, 33237 ... (OEIS A014545)

型如 p# - 1 之素數如 3# - 1 = 5、5# - 1 = 29 、7# - 1 = 219 等。對應的 第 n個素數 p 值 p# - 1 為素數的 n 值為 2, 3, 5, 6, 13, 24, 66, 68, 167, 287, 310, 352, 564, 590, 620, 849, 1552, 1849, ...(OEIS A057704)

　

而合連乘素數 (Compositoral Prime) 指型如 n!/n# +/- 1 之素數。

型如 n!/n# + 1 之素數如 4!/4# + 1 = 5、8!/8# + 1 = 193 等。而型如 n!/n# - 1 之素數如 4!/4# - 1 = 3、6!/6# - 1 = 23、 8!/8# - 1 = 191等。

　

參考文獻及網址：

Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Primorial." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5.

Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 7-8, 1994.

Weisstein, E. W. "Primorial Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PrimorialPrime.html.