素連乘數引來的奇想

素連乘數 (Primorial Number)，p#，是指不少於 p 的所有素數 (Prime Number) 的乘積。此數當然是合數 (Composite Number) ，數學家把此數的 +1 或 -1 視為素連乘素數 (Primorial Prime) ，關於這門素數的介紹，可參看另文《素連乘與合連乘素數》。亦有一些數學家嘗試把這素連乘數中的連乘式中任意一個乘號更改為加號，看看這些數的素性 (Primality)，即分辨這些數是素數還是合數。

　

我們看看一些例子吧：

7# = 7 * 5 * 3 * 2 = 210，而 7 + 5 * 3 * 2 = 37 、7 * 5 + 3 * 2 = 41、 7 * 5 * 3 + 2 = 107 全為素數。

我們理解若 p# 中的素數 p 越大，它能產生的素數該是越多，但真實情況又是不是這樣呢？是不是每一個素連乘數都有一道或至少一道產出素數的算式呢？最多又有多少個素數產生出來呢？

數學家希倫 (Jeff Heleen) 檢查 p = 353 以內的素連乘數，發現只有 3#、5#、7# 能全產素數，而產出素數最多的是 47# 和 269# 也不過是六個素數而已。但不幸的是，149#、173# 和 349# 不能產出素數，一個也沒有，故不是每一個素連乘數也有自己的一道給出素數的算式了。

　

參考文獻及網址：

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 564 - Primorials and Primes." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_564.htm