馬爾可夫不定方程

馬爾可夫不定方程 (Markov Diophantine Equation) 即 x2 + y2 + z2 = 3xyz 。以俄國數學家馬爾可夫 (Andrey Andreyevich Markov 1856 - 1922) 來命名。我們很容易知悉, x = y = z = 0 是其中一個解,但這太普通了,我們要求別的正整數解。這些正整數解中出現過的數值,我們稱為馬爾可夫數 (Markov Number)。

還得留意一點馬爾可夫的名字英文拼法多樣:Markov、Markoff 亦可。

 

那麼哪些數是馬爾可夫數呢?我們得先看看有哪些馬爾可夫不定方程的解,即馬爾可夫三元數組 (Markov Triples) 再說吧!

(1, 1, 1)、 (1, 1, 2)、 (1, 2, 5)、 (1, 5, 13)、 (2, 5, 29)、 (1, 13, 34)、 (1, 34, 89)、 (2, 29, 169)、 (5, 13, 194)、 (1, 89, 233)、 ...

當中的馬爾可夫數包括:

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, ... (OEIS A002559)

 

首先各位會否感到馬爾可夫三元數組出現的數有高度的重覆性呢?

這是因為若 (x, y, z) 為馬爾可夫三元數組則 (x, y, 3xy - z) 亦是馬爾可夫三元數組。

我們可以看得到 x2 + y2 + (3xy - z)2 = x2 + y2 + 9x2y2 - 6xyz + z2 = 3xyz + 9x2y2 - 6xyz = 9x2y2 - 3xyz = 3xy (3xy - z)。

留意因為方程的對稱性,我們找到一個解,便可以衍生三個新的解,如此下去。

如下圖,每個解前後也有三個解與之相連。此圖稱為馬爾可夫數樹 (Markov Number Tree)。

 

另外看到 1, 2, 13, 34, 89, 233 等是否有點似曾相識呢?不錯這正是費波拿契數  (Fibonacci Number)。其實不單有費波拿契數出現,2, 5, 29, 169 等亦是佩爾數 (Pell Number)。

原來 (1, F2n-1, F2n+1) 和 (2, P2n-1, P2n+1) 都是馬爾可夫不定方程的解,當中的 Fx 便是費波拿契數而 Px 即為佩爾數。換言之,所有奇次項的費波拿契數和奇次項的佩爾數也成為馬爾可夫數的一員了。 是故我們可這樣說,馬爾可夫不定方程的解數為無限。

 

小小題外話,由於西里爾字母 (Cyrillic Alphabet) 翻譯有別,故我們有 Markov 和 Markoff 兩種譯法。

 

參考文獻及網址:

Wikipedia. "Markov Number." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_number.