新的費馬數

波蘭數學家謝爾品斯基 (Waclaw Sierpinski 1882 - 1969)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

 

由第二類謝爾品斯基數談起

盧卡斯 - 歐拉定理 (Lucas - Euler Theorem) (詳見 《費馬數的素性判斷》一章) 使大家開始注意到型如 k*2m+1 的素數,不僅如此,這亦是尋找孿生素數 (Twin Primes) 的一大途徑。現存較大的孿生素數,如第一組突破十萬數位的孿生素數便是

65516468355*2333333± 1 即 k = 65516468355, m = 333333

這對素數達 100355 數位之多,是由 卡西亞 (Peter Kasier) 和 卡恩 (Keith Klahn) 兩人於二零零九年八月找到的。其實早在上世紀 70 年代,數學家巴利爾 (Robert Baillie) 等人已開始研究型如 k*2m+1 的素數,他們不但發現了新的費馬數因子 (Fermat Number Divisor),還找到一些比較大的孿生素數:297*2546 ± 1 。由於這樣種種原因,研究型如 k*2m+1 的素數在數論 (Number Theory) 中很快便成了大紅的課題了。

首先是型如 k*2m+1 的素數會有多少個?

 

如果我們把 m 固定,則數列 {k*2m+1} 是公差為 2m 的算術數列 (Arithmetic Sequence),根據狄利克雷定理 (Dirichlet's Theorem) :任何算術數列只要其首項和公差互素 (Coprime 或 Relatively Prime),則在上述數列中存有無限個素數。即在前述數列  {k*2m+1} 會有無限個素數。但若固定的是 k 又如何?是否會有無限個素數呢?

 

早在 1960 年,波蘭數學家謝爾品斯基 (Waclaw Sierpinski 1882 - 1969),或譯作謝爾平斯基,作了另一方面的觀察,把 k 固定有如何?他作了一個一般性的證明:存在無窮多個正奇數 k 使得 k*2m+1 對所有自然數 m 都是合數。人們稱這樣的 k 為第二類謝爾品斯基數 (Sierpinski Number of the Second Kind)。關於第二類謝爾品斯基數的研究主要有兩個方向:

是否存在第二類謝爾品斯基數 k ,使 k*2m+1 與任意 s 個素數的乘積互素?

尋找最小的第二類謝爾品斯基數 k0

 

向更小的出發

 

1962年美國數學家塞爾弗里奇 (John L. Selfridge 1953- ) 發現了兩個重要事實:

78557*2m+1 的數總可被 3、5、7、13、19、37 或 73 整除,即 78557 是第二類謝爾品斯基數。

當 k<383時,必存在 型如 k*2m+1 的素數,即在 k<383 中不會有謝爾品斯基數。

所以最小的第二類謝爾品斯基數必在 383 和 78557 之間。

 

下表以 78557 為例,列示  78557 * 2m + 1 中首十個合數的分解情況,當然這不足以證明整個數列全是合數。

m
78557 * 2m + 1
分解式
1 157115 5 X 7 X 672
2 314229 3 X 104743
3 628457 73 X 8609
4 1256913 32 X 7 X 71 X 281
5 2513825 52 X 193 X 521
6 5027649 3 X 11 X 131 X 1163
7 10055297 7 X 1436471
8 20110593 3 X 541 X 12391
9 40221185 5 X 59 X 136343
10 80442369 32 X 72 X 41 X 1483

 

下表列出部份已知的第二類謝爾品斯基數和其可被整除之素數集:

第二類謝爾品斯基數
可被整除之素數集
78557
3、5、7、13、19、37、73
271129
3、5、7、13、17、241
271577
3、5、7、13、17、241
322523
3、5、7、13、37、73、109
327739
3、5、7、13、97、257
482719
3、5、7、13、17、241
575041
3、5、7、13、17、241
603713
3、5、7、13、17、241
903983
3、5、7、13、17、241
934909
3、5、7、13、19、73、109
965431
3、5、7、13、17、241
1259779
3、5、7、13、19、73、109
1290677
3、5、7、13、19、37、109
1518781
3、5、7、13、17、241
1624097
3、5、7、13、17、241
1639459
3、5、7、13、17、241
1777613
3、5、7、13、17、19、109、433
2131043
3、5、7、13、17、241

 

要知道判定一整數是否為第二類謝爾品斯基數,即判定一無窮數列不存在素數,說來也不是一件易事。現在仍有不少數學工作者為在  383 和 78557 之間找尋更少的第二類謝爾品斯基數而努力,如 10223、21181 、22699、24737、55459、67607等。到底他們希望在對應數列中當中找到素數還是找不到呢?找到的話,代表這整數不是第二類謝爾品斯基數,或是一輪失望;找不到的話,代表在這整數的找尋尚未完結。看來那還得一個一般性證明,才可替他們解困了。

 

黎塞爾數

此外在 1956年瑞典人黎塞爾 (Hans Riesel 1929- ) 提出了相類似而關於 k*2m - 1 的問題,即在 {k*2m - 1} 的數列中存在無窮多個正奇數 k 使之成為合數,即把第二類謝爾品斯基數中的「加號」換成「減號」,我們把這些數稱為黎塞爾數 (Riesel Number)。而黎塞爾本人亦證明了 k0 = 509203 以及 kr = k0 + 11184810r 其中 r = 1, 2, 3, . . 皆是黎塞爾數,但最小的黎塞爾數是什麼呢?而黎塞爾本人則認為這數應和第二類謝爾品斯基數有相同性質,或許我們可在尋找最小 第二類謝爾品斯基數的同時找到靈感。

 

布賴爾數

後來,有人希望找到一整數既有第二類謝爾品斯基數的特點,亦有黎塞爾數的特點,人們稱其為布賴爾數 (Brier Number),這是由法國數學家布賴爾 (Eric Brier 1972- ) 最先提出。

布賴爾於 1998 年找到了一個例子:29364695660123543278115025405114452910889 這是一個長 41 數位的整數。

後來其他學者也找到一些比較「小」的例子:

布賴爾數
發現者
發現年份
143665583045350793098657 費拉斯達 (Michael Filaseta) / 芬治 (Carrie E. Finch) / 高錫克 (Mark Kozek) 2007
21867705038000924683065281 韋蘇路斯基 (A. Wesolowski) 2010
24155005016816795415535763 韋蘇路斯基 (A. Wesolowski) 2010
30902663634162389353963691 韋蘇路斯基 (A. Wesolowski) 2010
47867742232066880047611079 塞爾弗里奇 (Selfridge, John L.) / 高漢 (Fred Cohen) 1975
785726893501171163981552137 塞爾弗里奇 (Selfridge, John L.) / 高漢 (Fred Cohen) 1975
848414925767143803622636151 塞爾弗里奇 (Selfridge, John L.) / 高漢 (Fred Cohen) 1975
878503122374924101526292469
加洛特 (Yves Gallot)
2000
3872639446526560168555701047
加洛特 (Yves Gallot)
2000
623506356601958507977841221247
加洛特 (Yves Gallot)
2000

(OEIS A076335)

到底什麼是最小的布賴爾數呢?但在 2010年,韋蘇路斯基證明了在小於十個數位的區間中不存在布賴爾數,即那最小的布賴爾數也不會太小的。

 

補註:原來早在 1975 年,美國數學家塞爾弗里奇 (Selfridge, John L. 1953- ) 和高漢 (Fred Cohen) 的一篇論文已提及型如布賴爾數的素數,更以 47867742232066880047611079 等數為例子,只是未給預命名而已。

 

第一類謝爾品斯基數

很奇怪,為何一開始便談及第二類謝爾品斯基數,既有第二類,自有第一類的。不錯,但看來第一類謝爾品斯基數 (Sierpinski Number of the First Kind) 和費馬數的關不大明顯,唯一相同的可能是兩個數列中的素數個數都不多。

所謂第一類謝爾品斯基數即型如 nn + 1 的數,如 2、5、28、257、3126、46657、823544 等 (OEIS A014566)。我們不能看到數列是奇偶交錯的,這也不難解釋。

第一類謝爾品斯基數的數列中的素數僅知悉有 2、5、257三個,當然一些極大的數是未知素性 (Primality) 的。

謝爾品斯基證明若存一個素的第一類謝爾品斯基數 nn + 1,且 n 不少於 2 ,n 必以 2^(2k) 的型式出現,而是該第一類謝爾品斯基素數同為費馬素數 (Fermat Prime) Fm,其中 m = k + 2k

如 5、257 兩數為例,對應的 n 分別為 2 和 4,即 k = 0 和 1;它們同為費馬素數 ,對應的 m 分別為 1 和 3。現在最少一個未知素性的例子為 k = 6,即 m = 70。

 

參考文獻及網址:

Ballinger, R. "The Riesel Problem: Definition and Status." http://www.prothsearch.net/rieselprob.html.

Ballinger, R. "The Sierpinski Problem: Definition and Status." http://www.prothsearch.net/sierp.html.

Gallot, Y. "A Search for Some Small Brier Numbers." http://perso.wanadoo.fr/yves.gallot/papers/smallbrier.html.

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Problem 029 - Brier Numbers." http://www.primepuzzles.net/problems/prob_029.htm.

Weisstein, E. W. "Brier Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/BrierNumber.html.

Weisstein, E. W. "Riesel Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RieselNumber.html.

Weisstein, E. W. "Sierpinski Number of the First Kind." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiNumberoftheFirstKind.html.

Weisstein, E. W. "Sierpinski Number of the Second Kind." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiNumberoftheSecondKind.html.