泰波拿契數與迪達拿契數

泰波拿契數

泰波拿契數 (Tribonacci Number) 即把費波拿契數 (Fibonacci Number) 的概念推廣至三個數。

T0 = 0, T1 = T2 = 1, 以後的 Tn = Tn-1 + Tn-2 + Tn-3

即所謂費波拿契 N 步數 (Fibonacci N-step Number) 中取 n = 3。

 

我們有 Tn = 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, .... (OEIS A000073 )

其中有 Tn = 2, 7, 13, 149, 19341322569415713958901, 15762679542071167858843489 等一些素數 (OEIS A092836A092835 )。 這我們全稱作泰波拿契素數 (Tribonacci Prime)。

其實泰波拿契數可以由下式計算出來:

當中的 為多項式 P(x) 的根。

 

我們也可以寫成

其中 rn 為多項式 Q(y) 的第 n 個根,

而泰波拿契數列 (Tribonacci Sequence) 的生成函數 (Generating Function) 為

 

和費波拿契數列一樣,泰波拿契數列相鄰兩項之比是趨向一個極值的。眾所周知,費波拿契數列的極值為黃金比 (Golden Ratio) ,而泰波拿契數列的則稱為泰波拿契常數 (Tribonacci Constant)。該常數為 1.839286755214161132551852564653 ...... (OEIS A058265)

泰波拿契常數亦是方程 x3 - x2 - x - 1 = 0 的一個正實根,即

 

迪達拿契數

迪達拿契數 (Tetranacci Number) 即把費波拿契數 (Fibonacci Number) 的概念推廣至四個數。

T0 = 0, T1 = T2 = 1, T3 = 2, 以後的 Tn = Tn-1 + Tn-2 + Tn-3 + Tn-3

即所謂費波拿契 n 步數中取 n = 4。

 

我們有 Tn = 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, .... (OEIS A000078 )

其中有 Tn = 2, 29, 401, 773, 5350220959, 2682493808945359等一些素數。(OEIS A104534A104535) 這我們全稱作迪達拿契素數 (Tetranacci Prime)。

其實迪達拿契數可以由下式計算出來:

餘項為 的循環而已。當中的 為多項式 P(x) 的根。

 

我們也可以寫成

其中 rn 為多項式 Q(y) 的第 n 個根,

而迪達拿契數列 (Tetranacci Sequence) 的生成函數 (Generating Function) 為

 

迪達拿契數列相鄰兩項之比也是趨向一個極值的,這便是所謂的迪達拿契常數 (Tetranacci Constant)。該常數為 1.927561975482925304261905861736 ...... (OEIS A086088)

迪達拿契常數亦是方程  x4 - x3 - x2 - x - 1 = 0 的一個正實根。

 

翻譯小問題

在翻譯泰波拿契數和迪達拿契數時感到一時惘然,不知如何翻譯:從音還是從意。因為英文字首 Tri- 和 Tetra- 分別代表三和四,但既然費波拿契數是譯自音,故本人只好跟隨音譯了。若同志們有更好的建議,不妨來信一談。

 

參考文獻及網址:

Weisstein, E. W. "Tetranacci Constant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/TetranacciConstant.html.

Weisstein, E. W. "Tetranacci Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/TetranacciNumber.html.

Weisstein, E. W. "Tribonacci Constant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/TribonacciConstant.html.

Weisstein, E. W. "Tribonacci Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/TribonacciNumber.html.