費波拿奏數,我們乘起來!

費波拿契數

所謂費波拿契數列 (Fibonacci Sequence) 簡稱 Fn,即 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... (OEIS A000045)

當中 F1 = F2 = 1,Fn+2 = Fn+1 + Fn (其中 n = 1,2,3,...)

我們也可定義 F0 = 0 。

當中的數便是費波拿契數 (Fibonacci Number)。

它是因為 13世紀意大利數學家費波拿契 (Leonardo Pisano Fibonacci 約1170-約1250) 曾研究過,故以之為名。

 

當費波拿契數與階乘相遇時

然而過了七百多年,雖云我們對費波拿契數的認識深了,但與之相關的問題仍然存在,不變的也許只是數學家的好奇心和毅力了。

有數學家把費波拿契數與階乘 (Factorial) 的概念連結,創立了 費連乘 (Fibonorial) 和費項式系數 (Fibonomial Coefficient) 二個數種。

 

所謂費連乘,定義

 

即 n!F = F1 * F2 * F3 * ... * Fn (其中 n = 1,2,3,...),同連乘一樣,我們亦定義 0!F = 1。

 

0!F = 1!F = 2!F = 1, 3!F = 2, 4!F = 6,5!F = 30, 6!F = 240, 7!F = 3120, 8!F = 65520, 9!F = 2227680, 10!F = 122522400,...

我們一看便知這數列和階乘一樣很「快大」,其實它比階乘增長得更快。

 

數學家相信

這可給我們看到這費連乘數 (Fibonorial Number) 的近似範圍,式中的 C 為費波拿契階乘常 (Fibonacci Factorial Constant 1.226742010720353244417630230455 ...),而 f 是 黃金比 (Golden Ratio 1.618033988749894848204586834365 ... )

 

「加一」與「減一」

那費連乘數理所當然地是合數 (Composite Number) ,我們改為研究費連乘數 +/- 1 的素性 (Primality) 了。

我們定義所有型如費連乘數 - 1 的數 為  殆費連乘數 (Almost-fibonorial Number) ,當中的素數 (Prime Number) 為 殆費連乘素數 (Almost-fibonorial Prime)。

我們定義所有型如費連乘數 + 1 的數 為  擬費連乘數 (Quasi-fibonorial Number) ,當中的素數為 擬費連乘素數 (Quasi-fibonorial Prime)。

殆費連乘素數有 當 n = 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15 時的殆費連乘數 (OEIS A059709),在 n 不多於 500 中也不見別的殆費連乘素數。

擬費連乘素數有 當 n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 22, 28 時的擬費連乘數 (OEIS A053408),在 n 不多於 500 中也不見別的擬費連乘素數。

 

當費波拿契數與二項式系數相遇時

我們像二項式系數 (Binomial Coefficient) 般定義費波拿契二項式系數 (Fibonacci Binomial Coefficient) 或簡稱費二項式系數 (Fibonomial Coefficient) 。

其中 LN盧卡斯數 (Lucas Number)。

那亦和二項式系數一樣,我們亦定義

我們可以把費二項式系數排列成這個樣子:

1

1 1

1 1   1

1 2   2   1

1 3   6   3 1

1 5 15 15 5 1

...

這樣的排列,是不是有點似曾相識呢?

費項式系數可以說是一個把素數應用在組合數學 (Combinatorics) 的例子,然而這東西有什麼作用,還得數學家進一步探究了。

 

參考文獻及網址:

Weisstein, E. W. "Fibonomial Coefficient." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/FibonomialCoefficient.html.

Weisstein, E. W. "Fibonorial." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Fibonorial.html.