恆等式的聯想 - 卡羅爾和凱尼亞素數

有人從完全平方恆等式 (Completing-square Identities) 中找到靈感，討來兩類素數：卡羅爾素數 (Carol Prime) 及凱尼亞素數 (Kynea Prime)

眾所周知完全平方恆等式是指 (a+b)² = a² + 2ab + b² 及 (a-b)² = a² - 2ab + b²

　

若取 a = 2^x ，b = 1，(a+b)² - 2 便是凱尼亞素數，而 (a-b)² - 2 則是卡羅爾素數。

卡羅爾素數和凱尼亞素數的名字是自兩人 Carol G. Kirnon 及 Kynea R. Griffith 的名字。至於為何以上述二人的名字作為該素數類別之名，原因是最早研究這兩類素數的學者艾文紐爾 (Cletus Emmanuel) 替這門素數冠上他的朋友的名字。

凱尼亞素數亦可以 4^x + 2^x+1 - 1 的型式書寫，同理卡羅爾素數也同可以 4^x - 2^x+1 - 1 的型式書寫。

另若取 a = k^x ， k 可以不等於 2 ，則有了廣義凱尼亞素數 (Generalized Kynea Prime) 或廣義卡羅爾素數 (Generalized Carol Prime)。

　

現在已知的凱尼亞素數實不多：

直至 2005年止，只有 x = 0, 1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15 17, 18 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615 合共 45 個，其中最大的一個為 (2¹¹⁰⁶¹⁵ + 1)² - 2 ，該素數達 66597 數位之多，於 2004 年由文諾域 (Predrag Minovic) 發現。 (OEIS A093069)

　

而現在已知的卡羅爾素數也不多：

直至 2005年止，只有 x = 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 226749 合共 36 個，另外有兩個驗算當中。其中最大的一個為 (2²²⁶⁷⁴⁹ - 1)² - 2 ，該素數達 136517 數位之多，於 2005 年由美國數學家哈維 (Steven Harvey) 發現。(OEIS A091516)

　

參考文獻及網址：

Weisstein, E. W. "Carol Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/CarolNumber.html.

Weisstein, E. W. "Kynea Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/KyneaNumber.html.