更大的梅森素數

GIMPS

所謂 GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search 網上尋找梅森素數計劃) 其實是由一群熱愛數學的人推行的計劃,借助豐厚的獎金鼓勵數學工作者找尋更大的梅森素數 (Mersenne Prime) 。該組織亦提供相關的程式 (Program),使工作者可借互聯網 ,聯合多部電子計算機的能力進行分析。而當中程式開發者便是美國人沃爾特曼 (George F. Woltman 1957- ) 和庫羅夫斯基 (Scott Kurowski)。

第一個利用 GIMPS 程式找出來的梅森素數便是由法國人阿曼高德 (Joel Armengaud) ,他於 1996 年找到第 35 個 p = 1398269 的梅森素數。一年後英國人斯潘塞 (Gorden Spence) 發現第 36 個 p = 2976221 的梅森素數。1998年,當時年僅19歲的加州大學 (University of California) 數學系學生克拉克森 (Roland H. Clarkson) 找到第 37 個 p = 3021377 的梅森素數。1999年 印度裔人哈依瓦拉 (Nayan Hajratwala) 找來了第 38 個 p = 6972593 的梅森素數,他參與 GIMPS 的計劃還得以其電子計算機運行 111 天才碰上這巨大素數。

 

之後,由於電子計算機的進一步普及和速度提升,我們可以向更大的梅森素數進軍。緊接而來的,最大的梅森素數是在 2001年 11月 14日,由一位二十歲加拿大人卡麥倫 (Michael Cameron) 利用 GIMPS 的程式所發現的 213466917-1 這亦是一個有 4053946 個數位的「龐然大物」,但這只不過是第 39 個梅森素數而已。他這發現更為他帶來了十萬美元的獎金,更成了當年 12月5日 英國廣播公司 (British Broadcasting Company, BBC) 科學版的頭條,右圖便是當時的內文插圖,可說是名利雙收了。

據悉,卡麥隆利用其配備的800兆赫茲 AMD芯片的電子計算機加入到全球分布式計算網絡中,花費45天的時間得到了這一結果。儘管這台電子計算機自身性能并不高,但由于分布式計算網絡連接了全球數十萬台電子計算機,這些電子計算機自身有 僄庛篞蔽漁伬埭N通過網絡進行運算,因此總的運算速度可達到每秒2萬億次,相當于一台超級計算機。

(照片取自「英國廣播公司科學版

http://news.bbc.co.uk/1/hi/sci/tech/1693364.stm )

 

突破五百萬

2003年 11月 17日,足足兩年之後,GIMPS 宣佈第四十個梅森素數已被發現,在同年十二月二日已被證明無誤。這正是 220996011-1 ,是一個長達 6320430 數位的素數。發現這素數的人正是沙夫 (Michael Shafer),這是一名 26 歲的密芝根州立大學 (Michigan State University) 化學工程畢業生,義務協助梅森素數尋找工作。沙夫利用密芝根州立大學的電子計算機和 GIMPS 沃爾特曼和庫羅夫斯基的程式聯上全球 211000台網絡電子計算機,跨時跨地的一同尋找這巨大素數,遇上了這大數以後他還也要花上 19 日才能驗證這新的梅森數 (Mersenne Number) 的素性 (Primality),結果當然是素數了。

這回可快一點了,在 2004年 5月 15日,差不多是發現第四十個梅森素數的半年之後,第四十一個梅森素數宣告被發現。這是 224036583-1 ,這回比上一個多了近一百萬個數位,達 7235733 個數位,正式跨越七百萬。發現者是芬德力 (Josh Fredley) ,他利用一台 2.4GHz 奔騰四處理器的電子計算機配以 GIMPS 的程式作了超過兩週的運算,才遇上這素數,接後的測試也用上了五天之久。

 

在 2005年 2月 18日,是上一個梅森素數被發現之後的九個月之後,第四十二個梅森素數宣告被發現。這是 225964951-1 ,一個有 7816230 個數位的龐然巨物,距千萬位又走前一步。這素數是由德國人諾華克 (Martin Nowak) 發現的。諾華克是一名眼科醫生,工餘利用電子計算機尋找素數。我們可不要少看這素數,諾華克醫生在二月十八日找到它以前,也得用上一台 2.4GHz 奔騰四處理器的電子計算機和五十天計算時間,找把它驗明正身。

同年的聖誕節前, 12月 15日,近十個月後,第四十三個梅森素數被找了到了。這是 230402457-1 ,一個有 9152052 個數位的素數,看來千萬位素數的出現指日可待。說回這素數,這是由美國密蘇里州中央大學 (Central Missouri State University) 的 庫珀 (Curtis Cooper) 和邦尼 (Steven Boone) 兩位博士領導的工作小組再加上 GIMPS 的程式支援合作發現的。

 

在 2006年 9月 11日,第四十四個梅森素數被找了到了。這是 232582657-1,和第四十三個梅森素數相差不遠,這是一個達 9808358 個數位的素數,又距千萬位素數走近一步了。這素數同樣是由第四十三個梅森素數的發現小組,即庫珀和邦尼所領導的工作小組再加上 GIMPS 的程式支援合作而發現的。但這素數經歷了八年多,在 2014年11月才被確認為第四十四個梅森素數,因為 GIMPS 得判定在此數之前,沒有其他梅森素數,工作真的不容易啊。

 

千萬位的素數

差不多整整兩年後,第四十五和第四十六個梅森素數相繼被發現。這兩個首越千萬位的素數是較大的一個較早被發現的,「小」一點的則遲了兩周被發現。在 2008年 8月23 日,美國加州大學的數學系的計算經理艾迪森.史密夫 (Edson Smith) 找到了 243112609-1,這一個多達12978189 數位的素數。兩周之後,9月6日,德國電子工程師埃爾文尼希 (Hans-Michael Elvenich) 找到了 237156667-1,這一個「小」一點的梅森素數也達 11185272 數位之多。

在 2009年 6月 7日,斯特林德莫 (Odd Magner Strindmo) 找到一個相較小的第四十七個梅森素數,242643801-1,這一個多達12837064 數位的素數。

三年多以後,2013年 1月25日,庫珀獨自找到了第四十八個梅森素數,257885161-1,這一個多達 17425170數位的素數。 這素數的發現全賴美國密蘇里州中央大學的計算機日以繼夜、夜以繼日地不停運作了 39 日。單是驗證也用上了 3.6 天的時間,真不可輕看。又過三年,又是一月,2016年 1 月 7 日,庫珀又找到了第四十九個梅森素數,274207281-1,這一個多達 22338618數位的素數。

 

附表詳列 49 個梅森素數的資料

 

參考文獻及網址:

Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Mersenne." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=4.

GIMPS. "GIMPS Status." http://www.mersenne.org/status.htm.

Noll, L. C. "Landon Curt Noll's Prime Page." http://www.isthe.com/chongo/tech/math/prime/index.html.

Weisstein, E. W. "Mersenne Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/MersennePrime.html.