梅森素數新方向

電子計算的年代

梅森素數 (Mersenne Prime) 是研究偶完全數 (Even Perfect Number) 的關鍵,數學家和業餘學者自然為尋找更大的梅森素數而努力,因大部份學者都傾向相信梅森素數有無限多個。隨著電子計算機的普及,我們會有更多的工具來找出更大的素數。亦有不少程式員設計電子計算機程式來把計算量分散至各電子計算機之上,這便是我們所謂的「分散式計算」方法,而 GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search 網上尋找梅森素數計劃) 正是其中一個把「分散式計算」應用至數學上的組織。而該組織的創辦人之一:卡特維爾 (Chris Caldwell) 預言,人們會在 2005年找到第一個千萬位素數,在 2015年找到第一個億位素數,在 2025年找到第一個十億位素數 (Bevaprime) ,我們拭目以待吧!

(上圖解釋電子計算機出現後,尋找大素數的躍進。)

(上圖解釋 GIMPS 及微電腦 Microcomputer 出現後,尋找大素數的進一步躍進。)

(照片取自「The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)」http://www.mersenne.org/ )

 

梅森素數與孿生素數

但另一方面,亦有人研究梅森合數的分解,可惜進展不大。再有一些學者為梅森素數在數論 (Number Theory) 尋找別的出路,本章試在這一方面立說。

上世紀 80年代,德國漢堡大學 (University of Hamburg) 計算中心的凱勒 (Wilfrid Keller 1937- ) 發現型如 k*Mp ± 1 的孿生素數 (Twin Primes) ,有:

k
p
371634
1279
828426
1279
1723626
1279
1924176
1279
909030
2203
384750
2281
409008
2281
1846908
2281
2012082
2281
3198240
3217
2445810
4253
1639494
4423

 

他也發現型如 k*Mp2±1 的孿生素數,有:

k
p
713502
521
332880
607
455892
1279

人們自然會問,會否有其他這類的孿生素數?這和梅森素數有何關係?會不會有型如 k*Mpn ± 1 的孿生素數,當 n > 2 時?天知道啊!

 

參考文獻及網址:

GIMPS. "GIMPS Status." http://www.mersenne.org/status.htm.