賓亞高夫斯基猜想
其實簡單的一道 f(n) = 2n + 1 當中已存有無限多個素數，首先素數個數是無限，除了 2 以外全是奇數，即奇素數 (Odd Prime) 的個數也是無限的了。
這可是一個簡單的定理，狄利克雷定理 (Dirichlet's Theorm) 的一個特例。該定理指任何等差數列，只要首項和公差互素 (Coprime 或 Relatively Prime)，當中便存有無限個素數。現在全體奇數的通項公式中，公差為 2 ，首項的 1 與之互素，當中自有無限個素數來。這定理的證明不易，不作介紹了。
現在說到主題了，介紹一個猜想，一個比狄利克雷定理更廣範的測想，這便是賓亞高夫斯基猜想 (Bunyakovsky Conjecture)。這猜想是由俄國數學家賓亞高夫斯基 (Viktor Bunyakovsky 1804-1889) 於 1857 年提出，因而得名。猜想這樣說：「一道次數為二或以上的整系數 (Integral Coefficient) 不可約多項式 (Irreducible Polynomial) ，而其正整數的多項式值，一是存在無限多個數使它們的最大公因子 (Greatest Common Divisor, G.C.D.) 大於 1 ，或是存在無限多個素數。」因而符合上述要求的多項式又稱作賓亞高夫斯基多項式 (Bunyakovsky Polynomial)。
所謂不可約多項式，即該多項式不可以分解為多個更小次數的多項式。如 3x2 + x - 2 便不是一個不可約多項式，因為 3x2 + x - 2 = (3x-2) (x+1)。
還得留意一點賓亞高夫斯基的名字英文拼法多樣：Bunyakovsky、Buniakovsky、Bouniakowsky 亦可。
看看一些例子吧：
3x2 - x + 2 正是不可約多項式，而其給出的多項式值，全是 2 的倍數，即存有無限多個多項式的值使它們的最大公因子為 2。
而 x2 + 1亦是不可約多項式，它給出的素數如：
| x | 1 | 2 | 4 | 6 | 10 | 14 | 16 | 20 | 24 | 26 | ... |
| x2 + 1 | 2 | 5 | 17 | 37 | 101 | 197 | 257 | 401 | 577 | 677 | ... |
(OEIS A002496)
到底當中是否存有無限多個素數，還是一個謎，這正是所謂的 第五哈代 - 李特伍德猜想 (Fifth Hardy - Littlewood Conjecture)：存有無限多個型如 x2 + 1的素數，其中 x > 1。
為何說比狄利克雷定理更廣範呢？因為賓亞高夫斯基猜想亦可視作狄利克雷定理的一個推廣，因為狄利克雷定理中的等差數列可視作一道一次的多項式 (ax + b) 其中首項為 a + b，而公差為 a。
這樣又回到老問題之一，原來隨便找一道次數為二或以上的整系數不可約多項式，只要其某些多項式值互素，便存有無限多個素數。那麼多項式的值中誰是素數？誰是合數呢？怎樣的輸入值會得到素數的輸出呢？似乎問題又回到素性 (Primality) 判斷的老問題上了。
參考文獻及網址：
Weisstein, E. W. "Bouniakowsky Conjecture." From MathWorld http://mathworld.wolfram.com/BouniakowskyConjecture.html.
