素數也有好與不好
英國數學家蓋伊 (Richard Kenneth Guy 1916- )
(照片取自「Wikipedia」http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_K._Guy )
3 不是好的，5是好的，7不是好的，11是好的，13是不好的，17是好的，19不是好的，23不是好的，29是好的......
大家猜猜看我們為何會有這樣的結果，什麼素數 (Prime Number) 是好的 (Good)？什麼素數又不是好的？
原來在 1994 年 英國數學家蓋伊 (Richard Kenneth Guy 1916- ) 的一本著作《數論中未解決的問題》(Unsolved Problem In Number Theory) 中引用了愛爾特希 (Paul Erdos 1913 - 1996) 作的一個定義：
第 n個素數 Pn 若是好的則其必須符合
其中 i 為不少於 n-1 的整數。
若不符合上列要求，這素數便不是好的。因為 2 是第一個素數，故好與不好也無法定義在 2 這惟一的偶素數 (Even Prime) 之上。
我們以 20 以內的素數作測試，看一看它們誰是好的 ：
3 ： 3*3 = 9 < 10 = 2*5，所以 3 不是好的；
5 ： 5*5 = 25 > 21 = 3*7，且 25 > 22 = 2*11，所以 5 是好的；
7 ： 7*7 = 49 < 55 = 5*11，所以 7 不是好的；
11：11*11 = 121 > 91 = 7*13，且 121 > 85 = 5*17，且 121 > 57 = 3*19，且 121 > 46 = 2*23，因此 11 是好的；
13：13*13 = 169 < 187 = 11*17，因此 13 不是好的；
17：17*17 = 289 > 249 = 13*19，且 289 > 253 = 11*23，且 289 > 203 = 7 * 29 ，且 289 > 155 = 5*31， 且 289 > 111 = 3*37，且 289 > 86 = 2*43，因此 17 是好的；
19：19*19 = 361 < 391 = 17*23，因此 19 不是好的素數。
原來好的素數 (Good Prime) 也有無限個之多，而開始的則為 5、11、17、29、37、41、53、...... (OEIS A028388)。我們不難理解這素數好與不好，是和素數間隙 (Prime Gap) ，即兩連續素數之間的差，有些關係。
好的素數是否存有無限多個呢？美國數學家塞爾弗里奇 (John L. Selfridge 1953- ) 認為存有無限多個，這亦是塞爾弗里奇猜想 (Selfridge Conjecture) 的前半部。該猜想的後半部則認為能達至下式的素數也存有無限多個。
參考文獻及網址：
Guy, R. K. "'Good' Primes and the Prime Number Graph." §A14 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 32-33, 1994.
Weisstein, E. W. "Good Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/GoodPrime.html.
