哪裡找到素數

德國數學家蘭道 (Edmund Georg Herman Landau 1877-1938)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

 

 

數學家希望可以更了解素數分佈 (Distribution of Primes) 的情況,因此有數學家找尋不同型式的區間 (Interval),使之內含素數 (Prime Number) 。如俄國數學家切比雪夫 (Pafnuty Chebyshev 1821-1894) 指出在 n 和 2n 間琣酗@素數,而匈牙利數學家愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996) 更進一步證明當 n > 6 時, n 和 2n 之間琣酗@型如 4k+1 和一型如 4k-1 的素數。

 

到底在某一區間內是否必然存有一定數量的素數或某些特定型式的素數呢?我們看到不少這類型的猜想。

德國數學家蘭道 (Edmund Georg Herman Landau 1877-1938) 在 1912年,英國劍橋舉行的第五屆國際數學家大會 (International Congresses of Mathematicians) 上作出「不可攻破」來形容的四道難題中的一道勒讓德猜想 (Legendre's Conjecture) 便是指在 n2 和 (n+1)2 中琣酗@素數。我們稱之為猜想,便代表這是一個未解之謎了。

 

布羅卡猜想 (Brocard's Conjecture) 是指自 3 起,兩相鄰素數的平方之間,必然恆存四個素數。 用數學的術語來表達便是,對於所有 n > 2

其中 Pn 是表示第 n 個素數,而那函數 p(x) 則表示不大於整數 x 的素數個數。留意,若布羅卡猜想成立,亦可看到素數有無限個之多。

 

此等猜想,還待數學家的努力才許攻克。

 

參考文獻及網址:

Weisstein, E. W. "Brocard's Conjecture." From MathWorld http://mathworld.wolfram.com/BrocardsConjecture.html .

Wikipedia. "Prime Numbers." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_numbers.