素數間隙是什麼

兩相鄰素數 (Prime Number) 之間的差，我們叫它為素數間隙 (Prime Gap)，即：

我們稱這在這兩素數之間存在一素數間隙長度 (Length of Prime Gap) 為 d_n - 1 。

　

由於我們知道當 n>1 時，n! + 2、n! + 3、...、n! + n 全是合數 (Composite Number) 。

或我們可考慮 P# + 2、P# + 3、... 、P# + Q - 1全是合數，其中 P < Q 為兩相鄰的素數，而 P# 即 P 的素連乘 (Primorial) 即不少於 P 的所有素數的乘積。

讀者不妨證明，不太困難。 故這 d_n 可以說是沒有上限。但實際上，特定長度的素數間隙遠比這 P# 或 n! 為早出現。

　

蘇格蘭數學家蘭基 (Robert Alexander Rankin 1915 - 2001) 證明了 d_n 是依照下列數式的：

　

直觀上，素數間隙應隨數增大而增大，但這又不一定，如 23 和 29 之間相差 6，但 29 和 31 只差 2 。可惜我們現在對這一概念所知不多，很多的想法還只是猜想而已，詳見《素數間隙的猜想》一文。

　

其中尼斯利 (Thomas Nicely) 及美國人都伯納 (Harvey Dubner) 對素數間隙作了詳細的歸納和分析，本人現他們一些歸納數表列出，以供參考。

　

素數間隙表 (1-1999) (英)

素數間隙表 (2000-3999) (英)

素數間隙表 (4000-5999) (英)

素數間隙表 (6000-7999) (英)

素數間隙表 (8000-8999) (英)

素數間隙表 (9000-9999) (英)

素數間隙表 (10000-10999) (英)

素數間隙表 (11000-11999) (英)

素數間隙表 (12000 以上) (英)

　

參考文獻及網址：

Guy, R. K. "Gaps between Primes. Twin Primes" and "Increasing and Decreasing Gaps." §A8 and A11 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 19-23 and 26-27, 1994.

Nicely, T. R. "First Occurrence Prime Gaps." http://www.trnicely.net/gaps/gaplist.html.

Nicely, T. R. "New Maximal Prime Gaps and First Occurrences." Math. Comput. 68, 1311-1315, 1999. http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html.

Weisstein, E. W. "Prime Gaps." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PrimeGaps.html.