素數螺旋圖

 

美國數學家烏拉姆 (Stanislaw Ulam 1906-1986)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

 

烏拉姆的發現

這是素數 (Prime Number) 的一個古怪現象,最先是由美國數學家烏拉姆 (Stanislaw Ulam 1906-1986) 或譯烏蘭,在 1963 年的一個會議上提出並成為 1964年3月的美國科學雜誌 (Scientific American) 的封面。我們稱此現象為烏拉姆螺旋 (Ulam's Spiral)。我們不妨看看下圖:

 

我們把 1 放在數陣的正中央,再在 1 的左方寫上 2 ,再依逆時針方向螺旋形填上 3 、 4 、 5 等數字,填完一層便向外填第二層。

接下來,把素數塗上紅色,如上圖。

我們發現當中出現一些縱橫交錯的斜線,如 (5,17,37) 、 (5,19,41,71,109) 或 (19,7,23,47,79) 等。烏蘭強調這不是巧合或任何隨機的結果。

若把非素數刪除,會更易看到上述結果,如下圖:

 

這不是在細數的範圍才是,素數喜歡擠成直線的脾氣在大數空間如是,下圖為一個 399*399的空間,內填了 159201個數字,我們把素數以黑點素示,大家不難發現一條一條的斜直線。

 

數學家艾博 (P. Abbott) 建構了正六邊形 (Regular Hexagon) 的螺旋圖,我們又看看有沒有一些啟發?

藝術品

此外亦有人利用烏拉姆螺旋作為藝術取材,創製一些壁紙。歡迎點選下載。

(取自 Pulchritudinous Primes )

 

(取自 Jean-Francois COLONNA's Gallery)

 

參考文獻及網址

Gardner, M. "Mathematical Recreations: The Remarkable Lore of the Prime Number." Sci. Amer. 210, 120-128, Mar. 1964.

Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 80-83 and 88-89, 1984.

Weisstein, E. W. "Prime Spiral." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PrimeSpiral.html.