庫默爾的證明

德國數學家庫默爾 (Ernst Eduard Kummer 1810-1893)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

 

庫默爾的證明

本網已有文章提及歐幾里德 (Euclid 約前325 - 約前265) 如何證明存在無限多個素數 (Prime Number)。 (可參考《天下素數有多少》一文)

但證明之法又何止一個,上文同時言及利用費馬數 (Fermat Number) 的證明。現在本文為大家介紹另一個證明。這證明來自生於歐幾里德死後二千多年的一位德國數學家庫默爾 (Ernst Eduard Kummer 1810-1893) ,庫默爾亦有人譯作庫莫、庫摩爾等:

庫默爾假設存在有限個素數,且把它們順序列出,即 2 < p1 < p2 < ...... < pr

且考慮下正整數 N = (2)*( p1)*(p2)*......*(pr) >2,

N-1 是一合數 (由於 N-1 不等於上述任何一個素數),故 N-1 必是上述其中一個素數 pj (j 介乎 1 至 r 之間) 的倍數 。

故 pj 整除 N 及 (N-1) ,即 pj 整除 N-(N-1) = 1,得 pj = 1,矛盾。

乍看之下,這庫默爾的證明和歐幾里德的證明大同小異,只不過一個利用了 N + 1 ,而另一個選用了 N - 1 而已,但這卻已是二千多年後的發現。我們不禁要問出生於兩人之間的數學家是不是太不小心了。