素數倒數的級數

這是另一方法證明素數 (Prime Number) 有無限多個，我們希望透過

從而得知素數個數乃無限。

我們所觀測的對象為一有素數倒數 (Reciprocal) 組成的級數，即

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...... (P)

　

另我們考慮多 2 個級數：

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...... (A)

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..... (B)

顯現而知，級數 A 是發散 (Divergent) 的，即隨 A 的項數增加，其總和會趨向無窮。但級數 B 是收斂的 (Convergent)，即存在一有窮數，使隨 B 的項數增加，其總和會趨向該數。

從幾何級數 (Geometric Series) 的理論中，我們得知若其公比的絕對值少於 1 ，則該級數收斂。現級數 B 的公比為 1/2 ，則其收斂，且收斂於：

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..... 1/(2^n-1) = [1 - (1/2)ⁿ] / (1 - 1/2) = 2 - 1/(2^n-1)

當 n 越大大時 B 則越漸近 2 。

　

但 A 又如何，

我們可把 A 分成數段來看：

1 + 1/2 > 1/2 + 1/2 = 1

1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2

1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2

....................

1/(2^n-1 + 1) + 1/(2^n-1 + 2) + ...... + 1/(2ⁿ) > 1/(2ⁿ) + 1/(2ⁿ) + ...... + 1/(2ⁿ) = 1/2

即 A 的項數增加，比在結果上不斷增加 1/2 更甚，這樣我們給定任何數值，這級數也可超過，這級數當然是發散的了。

　

但我們可以把級數 B 看成在級數 A 中抽走一些項，即只要抽走足夠的項，這級數便可由發散變成收斂了。同理，由素數倒數組成的級數 P 也可被視作在級數 A 中抽走一些項，但問題只是足夠與否。

　

現在我們假定 P 收斂於 S，即會發生下列情況：

1/2 + 1/3 + 1/5 + ..... 1/p_n-1 不多於 S - 1/2

1/2 + 1/3 + 1/5 + ..... 1/p_n-1 + 1/p_n > S - 1/2

那麼，餘下的項：

1/p_n+1 + 1/p_n+2 + ...... < 1/2

不然，這總和便會大於 S。

　

然後我們考慮第 k 個素數之後的序列，把它們按遞增順序排列，即：

p_k+1 , p_k+2 , p_k+3 , ......

以 N(x) 表示小於或等於 x 的正整數中不被上列素數整除的個數。

如取 k = 4 ，即有素數集合 (Set of Primes)：{11, 13, 17, 19, ..... }

且 N(10) = 10， N(15) = 13， N(27) = 20

因為在 1 至 10 中沒有正整數可被 11 等素數整除，而在 15 以下則有 11 和 13 兩數，再者在 27 以下則有 11、13、17、19、22、23 和 26 七數可被 11 等素數整除，故得上例結果。

我們假定 k 為一已知數值，因此 N(x) 也被確定。

　

原來任何數 y 也可寫成

y = w²v

式中的 v 是無平方因子數 (Squarefree Number)，即 v 的素因子中再沒有重覆了，另外 w 或 v 也可以等於 1。

　

那麼，要使 y 計算在 N(x) 內則必須符合：

y不大於 x；

y 的所有素因子必須為前 k 個素數。

要滿足第一個條件，即 w²v 不大於 x，即 w 小於 x 的平方根。要滿足第二個條件，即 v 的因子只可是前 k 個素數，但因為 v 是無平方因子 (Squarefree) 的，即其中前 k 個素數的指數 (Index) 只可為 0 或 1 ，故 v 的可能個數最多也得 2^k 個：因此得

N(x) 不大於 2^k * sqrt(x)

便於網上行文，以 sqrt(x) 代替 x 的平方根。

　

因此 x - N(x) 即代表能被第 k 個素數之後的素數整除的個數。但這數不會多於 x 以內各素數的倍數 (Multiple) 個數總和，因當中存有它們的公倍數。得：

N(x) - x 不大於 x/p_k+1 + x/p_k+2 + ......

因為第 n 個素數以後的倒數和 (Sum of Reciprocals) 小於 1/2 ，若取 n = k ，則有：

N(x) - x < x/2

x/2 < N(x)

綜合得：

x/2 < N(x) 不大於 2ⁿ * sqrt(x)

當 x = 2²ⁿ⁺² 時：

2²ⁿ⁺¹ < N(x) 不大於 2²ⁿ⁺¹

　

因而產生矛盾。故得知素數倒數組成的級數 P 是發散的。因為若素數個數有限，該級數的總和也只會有限，但現在級數是發散的，即素數個數也是無窮之數了。