素數定理淺介

俄國數學家切比雪夫 (Pafnuty Chebyshev 1821-1894)

法國數學家阿達瑪 (Jacques Hadamard 1865-1963)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

 

素數定理 (Prime Number Theorem) 是素數論 (Prime Number Theory) 中最重要的關於素數 個數函數 (Prime Counting Function) p(x) 的理論,讓我為大家介紹這理論的由來和發展。

在素數理論中有許多著名的猜想,都是由經驗中概括過來的,然後再經過嚴格的數學推導,設法加以證明。例如關於 p(x),即不大於 x 的素數個數,我們稱為素數個數函數。我們因而作了下表:

x
p(x)
x / ln(x)
li (x)
p(x) / li(x)
p(x) / x
1000
168
145
178
0.94
0.1680
10000
1229
1086
1246
0.98
0.1229
50000
5133
4621
5167
0.993
0.1026
100000
9592
8686
9630
0.996
0.0959
500000
41538
38103
41606
0.9983
0.0830
1000000
78498
72382
78628
0.9983
0.0785
2000000
148933
137848
149055
0.9991
0.0745
5000000
348513
324149
348638
0.9996
0.0697
10000000
664579
620417
664918
0.9994
0.0665
20000000
1270607
1189676
1270905
0.9997
0.0635
90000000
5216954
4913897
5217810
0.99983
0.0580
100000000
5761455
5428613
5762209
0.99986
0.0576
1000000000
50847478
48254630
50849235
0.99996
0.0508

 

我們不難發現 p(x)可能有下列結果:

時, p(x) 也趨向無限大,這即素數個數有無限多個。詳見另文《天下素數有多少》。

時, p(x) / x 會趨向 0,即幾乎所有自然數是合數。詳見另文《找到素數的概率只有零》。

法國數學家勒讓德 (Adrien-Marie Legendre 1752 - 1833) 在 1830年提出一個猜想:

當 n 很大時,

其中 A=1 及 B = 1.08366。

 

德國大數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss 1777-1855) 又獨立地建議了一個相類似的,但和它不相等的公式,以一千個相繼的自然數為單位,高斯旳方法在於計算每個單位的素數個數,他建議用函數 f(n) = 1 / ln (n) 來表示充分大的整數附近的素數分佈 (Distribution of Primes) 的平均密度 (Mean Density),因此高斯猜測:

其中 li(x) 為對數積分 (Logarithmic Integral),即

 

綜合高斯和勒讓德的工作,我們得:

這便是我們常稱的素數定理。這亦是研究素數分佈的中心定理。因此決定素數定理的正確與否吸引了許多優秀數學工作者的注意,成了許多數學家的目標。

 

首先對此問題作出貢獻的是俄國數學家切比雪夫 (Pafnuty Chebyshev 1821-1894),他在 1848年 和 1850年證明了

而最終證明 = 1。

 

數學家西爾維斯特 (James Joseph Sylvester 1814-1897) 曾說:但是要確定這種可能性的存在,我們或許要等待世界上產生這樣一個人,他的智慧與洞察力像切比雪夫一樣,證明自己是超人一等的。

就在西爾維斯特說出那番話的時候出生的法國人阿達瑪 (Jacques Hadamard 1865-1963),依賴前人黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-1866) 的工作,以複分析 (Complex Analysis) 的方法,在 1896年證明了素數定理是正確的。差不多同時而又獨立證明了素數定理的還有比利時人達拉瓦勒布桑 (Charles Jean de la Vallec Poussin 1866-1962) 。

以後尋找一「簡單」的方法,即不以複分析的方法來證明素數定理又成了數學家的新課題。到了 1949 年,才有挪威數學家塞爾伯格 (Atle Selberg 1917- 2007) 和匈牙利數學家愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996) 分別作出獨立證明 ,然而功勞誰大,便促使兩人之間一段長時間的不和。

 

參考文獻及網址

Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 62-64, 1987.

Weisstein, E. W. "Prime Number Theorem." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html.

華羅庚 , 數論導引 , 香港 : 商務印書局 , p. 87 , 1967