找到素數的概率只有零

在上一章《天下素數有多少》，我們已引證了素數 (Prime Number) 的個數是無限，但另一方面，我們發現素數的出現是愈來愈稀疏，看下表：

x	p(x)	p(x) / x
1000	168	0.1680
10000	1229	0.1229
50000	5133	0.1026
100000	9592	0.0959
500000	41538	0.0830
1000000	78498	0.0785
2000000	148933	0.0745
5000000	348513	0.0697
10000000	664579	0.0665
20000000	1270607	0.0635
90000000	5216954	0.0580
100000000	5761455	0.0576
1000000000	50847478	0.0508

上表中 p(x) 為不小於 x 的素數個數，即素數個數函數 (Prime Counting Function) 。我們看見素數是在增多中，但相對於全體自然數的增長卻只是愈來愈稀疏了了。所以我們有「幾乎全部是合數」或「找到素數的概率只有零」的說法。這和「素數個數有無限個」似乎是相比矛盾，事實卻是這樣，奇妙嗎？

　

參考文獻及網址：

華羅庚 , 數論導引 , 香港 : 商務印書局 , p. 87 , 1967