真因子走圈子

長二十八的真因子圈

現在容我為大家介紹一個長 28 數的真因子圈 (Aliquot Cycle) ,即一數的真因子總和 (Sum of Aliquot Divisors) 等於第二數,第二數的真因子總和等於第三數,如此下去。這樣的數列亦可稱之為交際數 (Sociable Numbers) 。

補充一點,所謂真因子總和,即一數的所有因子 (Divisor) 除去自己的總和。

序號
自然數
素因子分解式
真因子個數
1
14316
(22)(3)(1193)
11
2
19116
(22)(34)(59)
29
3
31704
(23)(3)(1321)
15
4
47616
(29)(3)(31)
39
5
83328
(27)(3)(7)(31)
63
6
177792
(27)(3)(463)
31
7
295488
(26)(35)(19)
83
8
629072
(24)(39317)
9
9
589786
(2)(294893)
3
10
294896
(24)(7)(2633)
19
11
358336
(26)(11)(509)
27
12
418904
(23)(52363)
7
13
366556
(22)(91639)
5
14
274924
(22)(13)(17)(311)
23
15
275444
(22)(13)(5297)
11
16
243760
(24)(5)(11)(277)
39
17
376736
(25)(61)(193)
23
18
381028
(22)(95257)
5
19
285778
(2)(43)(3323)
7
20
152990
(2)(5)(15299)
7
21
122410
(2)(5)(12241)
7
22
97946
(2)(48973)
3
23
48976
(24)(3061)
9
24
45946
(2)(22973)
3
25
22976
(26)(359)
13
26
22744
(23)(2843)
7
27
19916
(22)(13)(383)
11
28
17716
(22)(43)(103)
11
29
14316
即第一個數

當中我們發現數列有一些上下的波動,找到有六個高峰,即 629072, 418904, 275444 和 381028。

 

六奇圈

我們不難從上例中發現他們全是偶數,大衛.摩爾斯 (David Moews) 和 保羅.摩爾斯 (Paul C. Moews) 找到了一組長度為 6 的奇真因子圈:

21548919483=
(35)(72)(13)(17)(19)(431)
23625285957=
(35)(72)(13)(19)(29)(277)
24825443643=
(32)(72)(11)(13)(19)(20719)
26762383557=
(34)(72)(13)(19)(27299)
25958284443=
(32)(72)(13)(19)(167)(1427)
23816997477=
(32)(72)(13)(19)(218651)

另外他們亦找到 3 個長度為 4 的數鏈,起始數值分別為 15837081520 、17616303220 和 21669628904。

 

圈來圈去有多少

嚴格來看,完全數 (Perfect Number) 和親和數 (Amiable Pair) 可視作長度分別為 1 和 2 的真因子圈。

但數學家找不到長度為 3 的真因子圈。長度為 4 的則有 142 組,起始數值 (最小的數值) 分別為 1264460, 2115324, 2784580, 4938136 等。 (OEIS A003416)

長度 5 的僅一組 12496,長度 6 的有五組:21548919483, 90632826380, 1771417411016, 3524434872392, 4773123705616。

長度 8 有兩組:1095447416, 1276254780。長度 9 的有一組 805984760 和一組長 28 的。

 

圈圈多問題

人們在親和數中面對的難題,即「奇偶性 (Parity) 不同」和「互素 (Coprime)」,在這些真因子圈中一樣存在。人們猜想對每一個長度而言,有無限多個數圈,但現在這仍未得證。

 

參考文獻及網址

Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, pp. 38-50, 2005.

Guy, R. K. "Aliquot Sequences." §B6 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 60-62, 1994.

Weisstein, E. W. "Sociable Numbers." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SociableNumbers.html.

 

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