真因子走沒路

比利時數學家卡塔蘭 (Eugene Charles Catalan 1814-1894)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

　

若我們把所有真因子數列 (Aliquot Sequence) 列出來，我們不難有以下發現。所有素數 (Prime Number) 的下一項均是 1 。而合數 (Composite Number) 呢，在數列中一是走循環，一是走至盡頭。早在 1888 年，比利時數學家卡塔蘭 (Eugene Charles Catalan 1814-1894) 提出猜想，所有數的結果只有三種：終結於一個素數 (Prime Number) 再變成 1，終結於一完全數  (Perfect Number)或終結於一個真因子圈 (Aliquot Cycle) 或親和數 (Amiable Pair) 的循環中。其實這也是一個合理的推測，畢竟豐數 (Abundant Number) 比虧數 (Deficient Number) 為少。數列中的豐數的下一項會比前數大，但虧數則相反了。是故理應上升少而下降大才是。

　

讓我們看看一些數列的走向吧：

如 95 -> 25 -> 6 (6 是完全數)。此類數，非完全數，但最終走向完全數的數，我們稱為抱負數 (Aspiring Number)，雖未臻完全，也有抱負力達完全。

　

最初數個抱負數為 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652 等。(OEIS A063769 )

又如 96 -> 156 -> 236 -> 184 -> 176 -> 196 -> 399 -> 241 -> 1

又如 220 -> 284 -> 220 -> 284 永遠走圈子下去。

　

當然我們在真因子數列中也有一些問題：如數列的最大值有多大？數列有多長等？怎樣的數會走到 1？怎樣的數會走圈子？

看看一個例子吧：美國數學家D．N．雷默 (Derrick Norman Lehmar 1867 - 1938) 發現 138 經 117步遞增至 179931895322 ，然後再經 177 步 遞減至 1。

在 1000 以內，276, 552, 564, 660 和 996 未知數列終局，我們稱之為雷默五數 (Lehmar Five)，看來要解決這五數，還得大家努力了。

　

參考文獻及網址：

Guy, R. K. "Aliquot Sequences." §B6 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 60-62, 1994.

Wells, D. "Aliquot Sequences." From The Most Mysterious Figure in Math - Prime Numbers. John Wiley and Sons Inc. P.9-11, 2005.