數數相連 - 親和數

婚戒上的數字

我們先看一個例子,是約翰和瑪莉婚戒上的數字:

220 = (22)(5)(11),284 = (22)(71)

220的真因子總和 (Sum of Aliquot Divisors) :s(220) = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

284的真因子總和:s(284) = 1+2+4+71+142 = 220

 

所謂真因子 (Aliquot Divisor) 是指一整數的因子 (Divisor) 但不等於該數本身。看這對數字互相包含,正是數 A 的真因子總和等於數 B ,數 B 的真因子總和恰好又是數 A 。這兩數便是一對「親和數」 (Amicable Pair),亦有人譯作「相親數」。這回不是「我心中有你,你心中有我」嗎?而上例正是最小的一對親和數了。用函數表示即

s(A) = B 及 s(B) = A

s(A) = s(B) = A + B

若我們從真因子總和來看是「我心中有你,你心中有我」,但若從因子總和 (Sum of Divisors) s (N) (即包括本身的所有因子總和) 來看,則是「你我心意相通,目標一致」了。 自古以來,親和數已吸引了不少數學家和業餘愛好者的垂青。

 

親和數公式

從前,傑出的古代阿拉伯地區的數學家塔別脫.本.科拉 (Thabit ibn Kurrah 836-901) 就建立了一個有名的親和數公式 - 塔別脫.本.科拉法則 (Thabit ibn Kurrah Rule) :

設 a = 3*2n-1 , b = 3*2n-1-1 , c = 9*22n-1-1,

 

這裡 n>1 及 a、b、c全是素數 (Prime Number) 時,則 2nab 與 2c 就是一對親和數了。下表列出自 n = 2 至 5 的情況。

n
a
b
c
親和數 A
親和數 B
2
11
5
71
220
284
3
23
11
(287)
c 不是素數
4
47
23
1151
17296
18416
5
(95)
47
(4607)
a 和 c 都不是素數

其中 n = 2 是我們引來的例子, n = 4 是由法國的業餘數學王子費馬 (Pierre de Fermat 1601-1665) 發現的,但下一個已是 n = 7,且在 20000 以下僅此三組。第三組,即 n = 7 ,也是由法國數學家找到的,是由笛卡兒 (Rene Descartes 1596 - 1650) 找到: 9363584 和 9437056。

 

大家都注意到上式給出的親和數全是偶數,但事實卻不是這樣。

 

歐拉的貢獻

瑞士數學大師歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) 也曾對親和數花了不少時間,並在1750年,一口氣拋出 60 對親和數,但全不是利用塔別脫.本.科拉法則。可是這使人吃驚的創舉卻窒礙了親和數的研究,人們以為大數學家也研究過,且有成果,研究空間也不大了,再也鑽探不到什麼好東西來。一百多年過去了,親和數似被人遺忘了,但突然又熱熾起來,1886年左右,一名16歲意大利少年巴格里尼 (Nicolo Paganini) 公開宣佈發現了一對比 220 和 284 稍大的親和數: 1184 和 1210 ,這對親和數也稱為巴格里尼親和數 (Paganini's Amicable Pair)。原來當年歐拉發現了長達數十位的「天文數字」親和數,偏偏漏了近在身邊的一對,可以說是「遠在天邊,近在眼前。」 當然看漏眼的還有費馬、笛卡兒等大師了。

 

在美國耶魯大學 (Yale University) 的 IBM 7094計算機上,對一百萬以下的自然數進行徹底清查,找到 42 對親和數,當中也有 以往未被發現的。現在尋找親和數的最佳方法是求出數 A 的真因子總和 B,再找出數 B的真因子總和,判斷是否一樣,一個一個的幹下去。

下面是部份的親和數:

220 與 284 1184 與 1210 2620 與 2924 5020 與 5564
6232 與 6368 10744 與 10856 12285 與 14595 17296 與 18416
63020 與 76084 66928 與 66992 67095 與 71145 69615 與 87633
79750 與 88730 (欲看更多,這邊有請)    

 

其中第 7 、11 和 12 對全是奇數的。1968年布拉特雷 (P. Bratley) 和 麥凱 (John McKay 1939 - ) 提出一個和奇親和數 (Odd Amicable Pair) 相關的猜想:所有奇親和數均可被 3 整除,且成為數論 (Number Theory) 中一未解的難題。直到1988年,巴蒂亞托 (S. Battiato) 和博厚 (Walter Borho) 利用電子計算機找到一反例 (Counterexample),不能被 3 整除的奇親和數,從而推翻了布拉特雷的猜想。其後他們還找到了 15 對例外的,下是當中最小的一對奇親和數又不是 3 的倍數:

a = s * 140453 * 85857199

b = s* 56099 * 214955207

其中 s = (54)(73)(113)(172)(19)(612)(97)(107),

若把其乘開,則有

a = 353804384422460183965044607821130625

b = 353808169683168273495496273894069375

它們全都是 36 位的大數,實不易找,會不會有更小的例外呢?會不會有只有一個是 3 的倍數的奇親和數呢?

 

到 1997年10月4日止,最大的一對親和數是由加西亞 (Mariano Garcia) 找到,這是一對有 4829 個數位的數字。

CM[(P+Q)P89-1] 和 CQ[(P-M)P89-1]

其中

C = 211P89
M= 287155430510003638403359267
P= 574451143340278962374313859
Q= 136272576607912041393307632916794623

當中的 P、Q、(P+Q)P89-1 和 (P-M)P89-1 全是素數。

 

另外李爾 (Elvin J. Lee) 發現判別型如 2npq 和 2nrs 的親和數的方法:

只要 p=3*2n-1-1 ,q=35*2n+1-29 ,r=7*2n-1-1 ,s=15*2n+1-13 ,且四數均為素數。但要此四數同為素數,似乎是難於登天。

 

看看親和數

印度數學家古巴達 (Shyam Sunde Gupta) 指出一些他對親和數的有趣觀測結果:

 

沒有任何親和數的成員是平方數 (Square Number)。

 

有些親和數,如 (69615, 87633) ,它們的數位總和 (Sum of Digits) 是相同的:

Sp(69615) = 6 + 9 + 6 + 1 + 5 = 27

Sp(87633) = 8 + 7 + 6 + 3 + 3 = 27

 

其它的,符合這條件的親和數還有:

(100485, 124155)
(1358595, 1486845)
(9773505 ,11791935)
(15938055, 17308665)
(20308995, 20955645)
(31536855, 32148585)
(35115795, 43266285)
(46271745, 49125375)
(46521405, 53011395)
(63560025, 65003175)
(63717615, 66011985)
(84521745, 107908335)
(115259625, 123757335)
(127924335, 148532625)
(131118975, 132926625)
(欲看更多,這邊有請)

我們發現在首 5000 對親和數中,便有 427 對是數位總和相等的。

 

有些親和數,如 (2620, 2924),它們均可整除各自的數位總和:

2620 的數位總和 = 2 + 6 + 2 + 0 = 10,2620 = 262 * 10

2924 的數位總和 = 2 + 9 + 2 + 4 = 17,2924 = 172 * 17

符合這條件的親和數我們稱為哈沙德親和數 (Harshad Amicable Pair) 其它的還有:

(10634085, 14084763)
(23389695, 25132545)
(34256222, 35997346)
(46521405, 53011395)
(63560025, 65003175)
(80422335, 82977345)
(120812175, 126671985)
(190888155, 194594085)
(256948065, 263110815)
(281499435, 297034965)
(291679245, 339731955)
(311414355, 338659245)
(347401035, 365917365)
(388904355, 465418845)
(405370035, 473836365)
(欲看更多,這邊有請)

我們發現在首 5000 對親和數中,便有 192 對哈沙德親和數。

 

其實所謂 哈沙德數 (Harshad Number) 又稱作尼雲數 (Niven Number) 便是指在給定底 (Base, 通常為 10) 的情況,一整數可整除其數位總和,詳可參看《數位總和的研究 - 哈沙德數》一文。

兩位哈沙德數包括:

10、12、18、20、21、24、27、30、36、40、42、45、48、50、54、60、63、70、72、80、81、84、90、... (OEIS A005349)

 

嚴格而言,所有單數位的數也是哈沙德數。

 

現在的哈沙德親和數只是把兩個概念合二為一而已。

 

問問親和數

現在學者主要從兩方面研究親和數:

尋找新的親和數;

尋找親和數的公式;

斷定親和數是否有無限對;

是否存在一奇一偶的親和數;

是否存在一對互素 (Coprime) 的親和數。(有人估計,若真的存在,這也是大於 1023 的數組。)

上述問題,是源於親和數的本質以使其不出現奇偶性 (Parity) 不同或互素的親和數,還是巧合,暫無人知。看來這「親和大使」未能親和奇偶,未能親和「陰陽」吧!這問題是歐拉提出的,200多年也沒有寸進,看來要發現一陰一陽,不比找到奇完全數 (Odd Perfect Number) 容易。

 

塔別脫.本.科拉數

注意到十世紀中東數學家塔別脫.本.科拉的發現,當中 a = 3 * 2n - 1 便成了塔別脫.本.科拉數 (Thabit ibn Kurrah Number) 或簡稱塔別脫數 (Thabit Number) :

如 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, ...... (OEIS A055010)。其中當 n = 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, ...... (OEIS A002235) 時會出現塔別脫.本.科拉素數 (Thabit ibn Kurrah Prime) 或簡稱塔別脫素數  (Thabit Prime) ,對應為 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, ...... (OEIS A007505)。

 

參考文獻及網址.

Gupta, S. S. "Harshad Amicable Pairs." From Number Recreations. http://www.shyamsundergupta.com/apharshad.htm.

Gupta, S. S. "Amicable Numbers." From Number Recreations. http://www.shyamsundergupta.com/amicable.htm.

Gupta, S. S. "Amicable Pairs With Numbers Having Same Sum Of Digits." From Number Recreations. http://www.shyamsundergupta.com/apsd.htm.

Guy, R. K. "Amicable Numbers." §B4 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 55-59, 1994.

Pedersen, J. M. "Known Amicable Pairs" http://amicable.homepage.dk/knwnc2.htm.

Weisstein, E. W. "Amicable Pair." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/AmicablePair.html.

Weisstein, E. W. "Thabit ibn Kurrah Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ThabitibnKurrahNumber.html.

Wikipedia. "Harshad Number." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Harshad_number.

Wikipedia. "Thabit Number." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Thabit_number.