為共同目標而前進 - 真因子圈
真因子圈或交際數
我們在《數數相連》的一章已談過親和數 (Amicable Pair) 的問題，其實這數圈不一定只限 2 個數，多些也可以，但隨著成員數目增加，原來屬於親和數的兩個要求，即
前數的真因子總和 (Sum of
Aliquot Divisors) 等於後數本身，一個接一個傳下去。
各數的因子總和 (Sum of
Divisors) 相等。
這兩個要求不可能同時保持，我們唯有作出取捨。
若保存前者，我們稱為親和數組 (Group of Amicable Numbers)；若保留後者，我們稱這樣的數鏈為真因子圈 (Aliquot Cycle) 或 真因子數列 (Aliquot Sequence)。本章先為大家介紹親和數組，而真因子圈則留待下一章《真因子走圈子》作交待。
桃園結義
我們可以有 3 數 A、B 和 C 而 A 的真因子總和恰好是 B 和 C 相加，B的真因子總和剛剛是 C 和 A 相加，C 的真因子總和回歸到 A 和 B上：這樣的三個數不是心心心相連嗎，像桃園中的劉、關、張，也像結義金蘭的好姐妹。
我們稱這小集團為「金蘭數」或正式的親和三元數組 (Amicable Triple)。但理論可好，真實存在否？是有的，但也小。
下為一例，由美國數學家迪克森 (Leonard Eugene Dickson 1874-1954) 在 1913 至 1952 年間發現 8 組親和三元數組中最小的一組：
A = 123228768 = (25)(3)(13)(293)(337)，s(A) = 227355648 = 103340640+124015008
B = 103340640 = (25)(3)(5)(13)(16561)，s(B) = 247243776 = 124015008+123228768
C = 124015008 = (25)(3)(13)(99371)， s(C) = 226569408 = 1232286768+103340640
式中的 s(n) 為數 n 的真因子總和。其實 A 和 B 的因子有 96 個，C 少一些，也有48 個：驗證是艱辛的工作，留給諸位好了。
迄今為至，我們對親和三元數組的研究仍有限。多附一例，以供參考。
A = (214)(3)(5)(19)(31)(89)(151) = 1945330728960
B = (214)(5)(11)(19)(29)(31)(151) = 2324196638720
C = (214)(5)(19)(31)(151)(359) = 2615631953920
另外，我們亦可從真因子總和去定義親和三元數組，也可從因子總和去作定義：
這樣即保留了我們先前所述的兩個要求中較後的一個了。
四進士
大家或會問，那麼有沒有親和四元數組 (Amicable Quadruple) ，當然是有的。
若四數的因子總和符合上式，那便是親和四重數了。
另外若 (a, b) 和 (x, y) 都是親和數，且
那 (ax, bx, ay, by) 便是一親和四重數，因為：
而最小的一組是 (842448600, 936343800, 999426600, 1110817800)。
此外我們亦可用下列公式尋找較大的親和四重數：
式中
式中 Mn 為梅森素數 (Mersenne Prime) ，n 是特定素數且大於 3 。
圈圈多問題
人們在親和數中面對的難題，即「奇偶性 (Parity) 不同」和「互素 (Coprime)」，在這些親和數組中一樣存在。人們猜想對每一個長度而言，有無限多個數圈，但現在這仍未得證。
參考文獻及網址：
Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, pp. 38-50, 2005.
Weisstein, E. W. "Amicable Quadruple." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/AmicableQuadruple.html.
Weisstein, E. W. "Amicable Triple." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/AmicableTriple.html.
