比「210」更好

一切由「210」開始

210 有一個頗特別的性質:

210 = 2 * 3 * 5 * 7 ,共有 16 個因子 (Divisor),即 1、2、3、5、6、7、10、14、15、21、30、35、42、70、105 和 210。

 

我們發現對 210 而言,每組乘積等於 210 的因子組合的和均為素數 (Prime Number)

210 = 1 * 210 ,1 + 210 = 211;

210 = 2 * 105 ,2 + 105 = 107;

210 = 3 * 70 ,3 + 70 = 73;

210 = 5 * 42 ,5 + 42 = 47;

210 = 6 * 35 ,6 + 35 = 41;

210 = 7 * 30 ,7 + 30 = 37;

210 = 10 * 21 ,10 + 21 = 31;

210 = 14 * 15 ,14 + 15 = 29。

 

看罷此性質以後,熱愛數學的人便會問:「我們可否找到一個比 210 更好的數 n,使 n 的每一個因子 d 均使 d + n / d 均為素數。」

 

在「210」以前

何謂更好?更大嗎?更多組合?還是什麼呢?無論如何,數學家也不過想對此數多些了解。(恕我見淺,我未知如何稱有此特性質的數,或日後找到合宜名字,另作修訂。)

 

其實 210 不是最小的一個數有此等性質,一些比 210 小的數也有相同的性質,如 2、6、10、22、30、42、58、70、78、82 等,這些數值不算大,驗證的工作則留給各讀者了。當然這些數的因子和組合沒有 210 的八組那麼多。

 

我們不難發現以下三點:

符合此性質的數必為偶數 (Even Number),因為若該數是奇數 (Odd Number) 的話,那乘積等於自己的兩個因子必然同為奇數,其和自然是偶數了,也難成素數。

這些數除 2 以外不會是素數,這也顯然易見,不作冗解了。

這些數全是無平方因子的 (Squarefree),若然 p2 可以整除 n,即必然有一個組 是 p*k 和 p,這樣該和必是 p 的倍數了,也難成素數。

 

而 2、6、30、210 便分別是有 1、2、3 和 4 組因子和成素數的數中最小的一員。我們不難發現這些數全是 p# (素連乘 Primorial,即不多於 p 的素數乘積,詳可參看另文《介紹兩個數學符號》),但這是不是必然的呢?往後的又是不是依照 p# 的路去走呢?

 

在「210」以後

這個 p# 的假設到了 11# 用不上了,11# = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2310,該數有 1、2、3、5、6 ... 、2310 合共 16 個因子。

  因子組合 因子和   素性及分解
2310 2310 * 1 2310 + 1 2311 素數
  1155 * 2 1155 + 2 1157 13 * 89
  770 * 3 770 + 3 773 素數
  462 * 5 462 + 5 467 素數
  385 * 6 385 + 6 391 17 * 23
  330 * 7 330 + 7 337 素數
  231 * 10 231 + 10 241 素數
  210 * 11 210 + 11 221 13 * 17
  165 * 14 165 + 14 179 素數
  154 * 15 154 + 15 169 132
  110 * 21 110 + 21 131 素數
  105 * 22 105 + 22 127 素數
  77 * 30 77 + 30 107 素數
  70 * 33 70 + 33 103 素數
  66 * 35 66 + 35 101 素數
  55 * 42 55 + 42 97 素數

我們找到有三組的和是合數 (Composite Number),無奈。

 

其實自 11# 以後,再大一些的素連乘也不能使所有組合均為素數了。詳見下表:

素連乘 成素數的因子對數 總因子對數目
210 8 8
2310 11 16
30030 21 32
510510 41 64
9699690 71 128
223092870 118 256
6469693230 263 512
200560490130 449 1024
7420738134810 703 2048
304250263527210 1385 4096
13082761331670030 2423 8192
614889782588491410 5502 16384
32589158477190044730 8617 32768
1922760350154212639070 18250 65536
117288381359406970983270 29353 131072
7858321551080267055879090 61970 262144
557940830126698960967415390 103568 524288
40729680599249024150621323470 209309 1048576
3217644767340672907899084554130 404978 2097152
267064515689275851355624017992790 853279 4194304
23768741896345550770650537601358310 1609502 8388608
2305567963945518424753102147331756070 3008915 16777216

這表由數學家費迪.舒尼達 (Fred Schneider) 製作。

 

接下來最小的數使該數因子和為素數且有五個不同的素因子 (Distinct Prime Divisor) 比 2310 大許多了,是 186162 = 2 * 3 * 19 * 23 * 71。

若不要求自己 和 1 的那組因子和也是素數的話,66378 = 2 * 3 * 13 * 23 * 37 也是有五個不同的素因子,除 1 + 66378 = 66379 = 41 * 1619,其餘各組均成素數。

 

新加坡國立大學 (National University of Singapore) 數學系教授蔡國誠 (Kok Seng Chua) 把符合上述條件的數整理,得出下表:

素因子個數 OEIS
3  

30 = 2*3*5, 42 = 2*3*7, 70 = 2*5*7, 78 = 2*3*13, 102 = 2*3*17, 130 = 2*5*13,

190=2*5*19, 310=2*5*31, 442=2*13*17, 658=2*7*47, 742=2*7*53, 970=2*5*97, ...

 

A128279
4  

210=2*3*5*7, 330=2*3*5*11, 462=2*3*7*11, 1870=2*5*11*17, 4218=2*3*19*37,

5590=2*5*13*43, 6042=2*3*19*53, 7638=2*3*19*67, 13962=2*3*13*179, ...

 

A128278
5  

186162=2*3*19*23*71, 899970=2*3*5*131*229, 3047410=2*5*19*43*373,

603843982=2*7*41*313*3361, 3162524682=2*3*79*2003*3331, ...

 

A128277

註:上表列的參考數列全只列寫奇素因子乘積 (Product of Odd Prime Divisors),故須把答案乘 2 才得到表列的數。

 

那麼六個不同的素因子的呢?我只能說句該數是更大和更難找到,但現在尚末尋獲,但相信該數不少於 2 * 1010

 

同餘的啟示

尋找和 210 有相同性質的數,我以為應從素因子分解式 (Prime Factorization) 入手,看看什麼型式的素因子可以滿足要求。

 

我們先看看兩個素因子的,即型如 2p 的數,我們可以尋找素數 p 使 p + 2 和 2p + 1 均為素數。p 可以是 2、3、5、11、29、41 等,對應的符合條件的數便是 4、6、10、22、58、82 等。我們不難發現較大的數的個位全是 2 或 8 ,對應的素數 p的個位是 1 或  9。其實這也不難理解,大部分的素數的個位只會是 1、3、7、9,而要使 p + 2 亦是素數的,個位是 3 的便不可以了;又得使 2p + 1成素數,個位是 7的亦不能:所以只剩下個位為 1 或 9 了。

 

讓我們再看看三個素因子的,即型如 2pq 的數,我們得尋找素數 p 和 q 使 2pq + 1、p + 2q 、 q + 2p 和 pq + 2 皆是素數。我們發現符合條件的數的個位全是 0、2 或 8,這亦不難理解的。若 p 或 q 其中一個數是 5 ,那個位便是 0 了。至於個位是 2 和 8 的原因大致和上一段所述的相類似。若 p 和 q 都不是 5 的話,pq 的個位只會是  1、3、7、9,但又得使 pq + 2 和 2pq + 1為素數,那 pq 的個位只可以是 1 或 9 了。於是我們發現若 p 和 q 都不是 5 的話,p 和 q 的個位只可以是下列的八種可能性:(1, 1)、(1, 9)、(3, 3)、(3, 7)、(7, 3)、(7, 7) 、(9, 1) 或 (9, 9)。

 

我們又從另一個同餘 (Congruence) 的角度來看,我們知道除 2 、3 以外,所有素數均可分為 6k+1 和 6k-1 兩類型。若符合條件的數不含素因子 3,則該數的素因子中只可有奇個數的 6k-1型素數,原因是這樣的:

若某數有偶數個 6k-1型素數,即存在一個分拆方式使 2a + b 中 a 和 b 同含有偶個數的  6k-1型素數。

那  2a + b = 2(-1)2m + (-1)2n = 2 + 1 = 3 (mod 6),即這樣計算出來的和會是 3 的倍數,不能符合條件。

 

緃然規限了有 6k-1型素數的個數,但仍不足以找尋符合條件的數,只是縮小找尋範圍而已。

 

參考文獻及網址:

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 549 - Better than 210." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_549.htm.

 

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