因子總和

因子總和

我們會用 s(n) 表示 n 的因子總和 (Sum of Divisors) :如 s(20) = 1+2+4+5+10+20 = 32。

若某數 n 的素因子分解式 (Prime Factorization) 為

s(n) = (p1a1+1-1)/(p1-1) * (p2a2+1-1)/(p2-1) * ... * (prar+1-1)/(pr-1)

式中的 pi 為 n 的不同素因子 (Prime Divisor),ri 為該素因子的指數 (Index), i = 1, 2, 3, ..., s。網友只要用幾何級數 (Geometric Series) 求和的方法,不難得到這個結果。因此我們可以知道這 s(n) 是一個積性函數 (Multiplicative Function) ,即 s(a*b) = s(a) * s(b) 其中 (a,b) = 1。這結果對我們計算其數值,有莫大的幫助。

如 100 = 22 * 52 ,那麼 s(100) = (23 -1)/(2-1) * (53 -1)/(5-1) = 7 * 31 = 217。如 100 般擁有一個奇的因子總和並不常見,因為只有型如 2k * m2n 的數才配擁有,其中 k, n 為任意非負整數、m 為任意奇數,即是包括 2 的方冪、奇數的平方或它們的乘積。

 

我們不難看到,若 p 為一素數 (Prime Number), s(p) = p+1,因 p 只有 p 和 1 這兩個因子 (Divisor) 而已。

若 n 為一無平方因子數 (Squarefree Number),即對上式所有 ai 也是 1,

s(n) = (p1+ 1 ) * (p2 + 1 ) *...* (pr + 1 )。

 

我們也會用 sk(n) 表示 n 的因子 k 次冪總和 (Sum of the kth power of the Divisors),這或稱因子函數 (Divisor Function),即如 s3(10) = 13 + 23 + 53 + 103 = 1 + 8 + 125 + 1000 = 1134。

sk(n) 也有公式的:

sk(n) = (p1k*r1+k-1)/(p1k-1) * (p2k*r2+k-1)/(p2k-1) * ...... * (psk*rs+k-1)/(psk-1)

式中的 pi 為 n 的不同素因子,ri 為該素因子的指數, i = 1, 2, 3, ..., s。網友同樣只要用幾何級數求和的方法,不難得到這個結果。

那麼我們剛才介紹的 s(n) 即 s1(n) ,而因子個數 (Number of Divisors) d(n) 即是 s0(n) 。

 

總和的問題

古希臘時期,已有數學家研究 s(n) = 2n 的問題,即是研究「完全數」(Perfect Number),本網另有文章介紹,欲知更多,可轉至《完完全全的數》。當然亦有數學家尋找 s(n) = k*n (k 為任意大於 2 的整數) ,這也是研究「完全數」的一分支而已。

波蘭數學家謝爾品斯基 (Waclaw Sierpinski 1882 - 1969) 留意到會不會存在一數 n 使 s(n) = s(n+1) 呢?

原來在 10000000 以內也不過得 113 個解,它們是

14、206、957、1334、1364、1634、2685、2974、4364、14841、... (OEIS A002961)

 

數學家的興趣不止於此,若把問題換上了 sk(n) 又如何?若把 n+1 換上了 n+k 又怎樣?

另數學家拉姆奈 (Max Rummey) 關注 s(q) + s(r) = s(q+r) 的解。

他注意到若 (q+r) 為一素數,解只有一個 (q,r) = (1,2)。

若 q+r 為一素數 p 的平方時,則 q 或 r 其中一個 (比方說是 q) 是素數,且另一個 (比方說是 r) = 2n * k2 (這裡 n 不少於 1 及 k 是奇數 )。如果 k = 1,只有當 p 為一梅森素數 (Mersenne Prime) 而 q = p2 - 2n 亦是一素數時,方程有一個解;對 n = 2, 3, 5, 7, 13 和 19 亦然。對 k = 3 無解。對 k = 5 及 n < 189 也無解。 對 k = 7,n = 1 和 3 拉姆奈給出 (q, r, q+r) = (5231, 2*72, 732) 和 (213977, 23*72, 4632)。

若 q+r 為一素數 p 的立方時,則有 s(2) + s(6) = s(8) 和 s(11638687) + s(22*13*1123) = s(2273) 。

還有其他的解嗎?我們問了,便得找尋答案,相信已有不少人為此努力。