高斯和艾森斯坦把問題弄大了

德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss 1777-1855)

德國數學家艾森斯坦 (Gotthold Eisenstein 1823-1852)

(照片均取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

 

不屬整數的素數

素數 (Prime Number),我們可以理解為整數中不可再分解的東西。我們可以以同樣的方法在不同域 (Domain) 中定義素數,這便是本章所介紹的 高斯素數 (Gaussian Prime) 和 艾森斯坦素數 (Eisenstein Prime)。

在整數中, 1 不是素數 ,我們稱其為單位 (Unit),任何數和單位的乘積不影響其素性 (Primality) 。但在別的域中,單位可不只一個,如在有理數域中,單位便是 +1 和 -1。由此 7 和 -7 在有理數域中也是素數,這 -7 稱作 7 的相伴元 (Associate)。

 

高斯素數

若我們把定義擴展至複數域中:高斯整數 (Gaussian Integer) 為型如 a+bi 的複數,其中 a、b 均為整數 及 i2 = -1 。這高斯整數和普通整數相像,也是惟一分解 (Unique Factorization) 的。除去因子的次序、單位 + 1、 - 1 、 + i 、 - i 及相伴元以外的分解是惟一的。在高斯整數的世界中,型如 4k-1 的素數 (如 3、7、11、19、23、......) 仍為素數,但其他的則可進一步分解成其他高斯素數:

 

2 = (1+i) (1-i)
5 = (2+i) (2-i)
13 = (2+3i) (2-3i)
17 = (4+i) (4-i)
29 = (5+2i) (5-2i)
37 = (6+i) (6-i)

 

若我們把高斯素數的位置記下,便有下圖:

 

現在我們知道在實軸 (Real Axis) 及虛軸 (Imaginary Axis) 上存在無限多個高斯素數,因為虛軸上的高斯素數不過是實軸的高斯素數的相伴元。但在複平面 (Complex Plane) 上別的直線又如何呢?例如所有型如 (1 + ki) 的高斯素數是否均存有無限多個呢?仍是存疑。

 

艾森斯坦素數

若我們又把定義擴展至另一數域中:艾森斯坦整數 (Eisenstein Integer) 為型如 a + bw ,其中 a、b 均為整數 及 w 為一複的三次單位根,滿足 w2 + w + 1 = 0 ) 這裡也是惟一分解的 (除去因子的次序、單位 + 1、 - 1 、 + w 、 - w 、 + w2 、 - w2 及相伴元以外的分解是惟一的)。在艾森斯坦整數的世界裡,素數 2 和 型如 6k- 1 的素數 (如 5、 11、 17、 23、 29、 41、 ......) 仍為艾森斯坦素數,但是 3 和那些型如 6k+ 1 的素數 (如 7、 13、 19、 31、 37、 43、 ......) 則可進一步分解成其他艾森斯坦素數。艾森斯坦素數也稱作 艾森斯坦 - 雅可比素數 (Eisenstein-Jacobi Prime)。

3 = (1-w) (1-w2)
7 = (2-w) (2-w2)
13 = (3-w) (3-w2)
19 = (3-2w) (3-2w2)
31 = (5-w) (5-w2)
37 = (4-3w) (4-3w2)

留意 型如 a + bw2 也可是艾森斯坦素數,因 w = - w2 - 1。故上表中的 2 - w2 亦可寫成 3 + w

 

到底艾森斯坦素數有什麼特性,數學家歸結出下列數點:

1 - w

素數 2 和 型如 6k- 1 的素數,即所有型如 3k + 2 的素數。

型如 a + bw 或 a + bw2 ,其中 (a + bw) (a + bw2) = a2 - ab + b2 = p 是一個型如 3k + 1 的素數。

而這樣令 p = u2 + 3v2,我們則有 a = u+v 及 b = 2v 了。

 

以下為一些非實數的艾森斯坦素數: 2 + w, 3 + w, 4 + w, 5 + 2w, 7 + w, 7 + 3w 等。

 

 

 

唯一分解定理

讀者看到這裡,或許有點惘然,何謂唯一分解?

原來我們熟識的素因子分解在別的代數系統中未必是唯一的,其在正整數中的唯一性是一個很完美的特性。當然我們介定了相伴元以後,使其再複數域等也是 惟一分解,從而產生本章內容。

哪裡不是惟一分解?

如在以 根 -5 建立的環 (Ring) 上,即任何以 a + bz 型式存在的數集,式中 z2 = -5。

6 = 2 * 3 = (1 + z) * (1 - z)

是故 6 在該環上不是惟一分解。當然在這樣的地方也無法定義素數了。

參考文獻及網址

Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 85, 1991.

Weisstein, E. W. "Gaussian Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/GaussianPrime.html.