歐爾調和數

先看一例，6 是完全數 (Perfect Number)，其因子包括 1, 2, 3, 6。

而因子的調和平均數 (Harmonic Mean)，即 4 / (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6) = 4 / 2 = 2，為一整數，此數便是歐爾調和數 (Ore Harmonic Number) 或調和因子數 (Harmonic Divisor Number)。此數最先有挪威數學家歐爾 (Oystein Ore 1899 - 1968) 於 1948年定義，故因而得名。

其實所有完全數的倒數和均為 2，已知的全是偶數，故所有完全數也是歐爾調和數。

　

但不只是完全數符合歐爾調和數，當中也有非完全數的例子，如 140：

12 的因子包括 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140。

而因子的調和平均數，即 12 / (1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/7 + 1/10 + 1/14 + 1/20 + 1/28 + 1/35 + 1/70 + 1/140) = 12 / (12/5)  = 5，為一整數。

故 140 亦屬歐爾調和數一例。

　

歐爾調和數的例子還有 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 等 (OEIS A001599)

　

下表列出一些為某特定調和平均數的最小歐爾調和數：

調和平均數	最小歐爾調和數
1	1
2	6
3	28
5	140
6	270
7	8128
8	672
9	1638
10	6200
11	2970
13	105664
14	18620
15	8190
17	27846
19	117800
21	55860
24	30240
25	173600
26	242060
27	167400
29	237510

從中，我們看到，原來大體而言最小歐爾調和數的數值正隨調和平均數增加而增加，但細看又不是如此規律。這正如很多數論問題一樣，難以估量。

　

參考文獻及網址：

Wikipedia. "Harmonic Divisor Number" From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_divisor_number.