歐爾調和數

先看一例,6 是完全數 (Perfect Number),其因子包括 1, 2, 3, 6。

而因子的調和平均數 (Harmonic Mean),即 4 / (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6) = 4 / 2 = 2,為一整數,此數便是歐爾調和數 (Ore Harmonic Number) 或調和因子數 (Harmonic Divisor Number)。此數最先有挪威數學家歐爾 (Oystein Ore 1899 - 1968) 於 1948年定義,故因而得名。

其實所有完全數的倒數和均為 2,已知的全是偶數,故所有完全數也是歐爾調和數。

 

但不只是完全數符合歐爾調和數,當中也有非完全數的例子,如 140:

12 的因子包括 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140。

而因子的調和平均數,即 12 / (1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/7 + 1/10 + 1/14 + 1/20 + 1/28 + 1/35 + 1/70 + 1/140) = 12 / (12/5)  = 5,為一整數。

故 140 亦屬歐爾調和數一例。

 

歐爾調和數的例子還有 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 等 (OEIS A001599)

 

下表列出一些為某特定調和平均數的最小歐爾調和數:

調和平均數 最小歐爾調和數
1 1
2 6
3 28
5 140
6 270
7 8128
8 672
9 1638
10 6200
11 2970
13 105664
14 18620
15 8190
17 27846
19 117800
21 55860
24 30240
25 173600
26 242060
27 167400
29 237510

從中,我們看到,原來大體而言最小歐爾調和數的數值正隨調和平均數增加而增加,但細看又不是如此規律。這正如很多數論問題一樣,難以估量。

 

參考文獻及網址

Wikipedia. "Harmonic Divisor Number" From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_divisor_number.