豐數、虧數和完全數

數的巧合

「六是一個完美的數字,這並不是因為神以六日創造天地。或者相反的更是正確,神以六日創造天地正因為六是完美的,即使那六日工作不存在。 」

這是英國神學家聖思定 (St. Augustine 354-430) 所說的。

為什麼 6 是完美呢?

其實古代希臘人早已對一些數字特別喜愛,6 亦是其中一個。有人認為 6 是屬於愛美神維納斯 (Venus) 的,它象徵著美滿的婚姻。但在數學上, 6 亦有其獨特之處。

6 是一個合數 (Composite Number),有因子 1、2、3 和 6。除去其本身 6 的其餘因子 (即真因子) (Aliquot Divisor) 總和,恰好是 6 本身,這樣的數實不多,我們稱為完全數 (Perfect Number),或稱作完美數。

 

再看一例吧!28 ,28 的 真因子有 1、2、4、7 和 14,其總和 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。

在自然數中,這巧合不易見,不是真因子總和 (Sum of Aliquot Divisors) 比原數大,稱為豐數、盈數或過剩數 (Abundant Number);便是真因子總和比原數小,稱為虧數或不足數 (Deficient Number)。能巧合相等的完全數實不多。

 

我們亦有公式可計算一數的因子總和,即

s(n) = (p1r1+1-1)/(p1-1) * (p2r2+1-1)/(p2-1) * ...... * (pkrs+1-1)/(ps-1)

式中的 pi 為 n 的不同素因子 (Distinct Prime Divisor),ri 為該素因子 (Prime Divisor) 的指數, i = 1, 2, 3, ....., s。

當然若這 s(n) 大於 2n ,這便是豐數;小於者便是虧數;相等者便是完全數了。

(關於豐數的話題,可參看另文《豐數真面目》)

 

完全數

古希臘數學家歐幾里德 (Euclid 約前325 - 約前265) 已發現一條可給出完全數的公式:N=2p-1(2p-1),若 (2p-1) 是素數 (Prime Number),便可得出完全數。

例:取 p = 2 得 22-1(22-1)= 2*3=6;取 p = 3 得23-1(23-1)=4*7=28 ...... (OEIS A000396)

 

很容易理解,我們設 M = (2p-1),因 M 是素數,則 N = 2p-1 M 的所有真因子為

1、2、22、......、2p-1、M、2M、22M、......、2p-2M

 

它們的和為

1+2+22+......+2p-1+M+2M+22M+......+2p-2M

=(1+2+22+......+2p-1)+(1+2+22+......+2p-2)M

=(2p-1)+(2p-1-1)M

=M+(2p-1-1)M

=2p-1M

這是一條可給出完全數的公式,但是不是所有完全數都是以上述型式表出?這還是未知的一個謎。

 

順道一提,型如 2p - 1 的素數,即所謂的梅森素數 (Mersenne Prime)。本文後半會略談當中因由,讀者亦可參看《一切由完全數開始 - 梅森數》等介紹梅森素數的一系列文章。

 

更多的完全數

到了公元 1 世紀,畢達哥拉斯學派 (Pythagoraen School) 的晚期學者尼科馬霍斯 (Nichomachus 約60 - 約120) 給出四個完全數: 6、28、496、8128,它們相當於 p = 2、3、5、7。由於完全數稀少,例子不多,難怪尼科馬霍斯也感慨的道:奇蹟發生了,世上善和美寥寥可數,惡和醜的東西卻比比皆是。自然數中遍佈雜亂的豐數和虧數,完全數卻以它特有的性質閃閃發光,珍奇而稀少。

此後 1000 多年,尋找完全數的工作裹足不前,按李約瑟 (Joseph Needham 1890-1995) 博士考證,1460年有一位不知名者找到了第五個完全數:33550336 ,即 p =13。在1603年,意大利數學家卡塔爾迪 (Pietro Antonio Cataldi 1548-1626) 發現了第六和第七個完全數:8589869056 和 137438691328 即 p = 17 和 19。

17世紀,法國數學家費馬 (Pierre de Fermat 1601-1665) 也研究過完全數,在1640年6月,他寫了一封信梅森 (Marin Mersenne 1588-1648) ,給定了三項研究基礎,從此研究偶完全數 (Even Perfect Number) 的工作和研究梅森素數 (Mersenne Prime) (型如 (2p-1) 的素數) 的工作連在一起。可是梅森素數,這又是一稀有品種,屹今只發現了 47 個梅森素數,即只有 47 素個完全數。

 

尋找奇完全數

從歐幾里德的公式可知其答案一定是偶數,那麼是不是所有完全數都是偶數呢?或問會不會有奇完全數 (Odd Perfect Number) 呢?

我只能說未置可否,若然說完全數是珍奇無比的珍珠的話,那麼奇完全數可以比喻為童話故事裡的美人魚了,珍罕到未許人曾一睹芳容,更不知那是存在與否。

 

法國數學家笛卡兒 (Rene Descartes 1596 - 1650) 在 1638年,曾認為自己可以否定奇完全數的存在。研究過程中找到一個「假」的奇完全數 :

198585576189 = 32 * 72 * 112 * 132 * 22021

其因子總和 = (1 + 3 + 9) * (1 + 7 + 49) * (1 + 11+ 121) * (1 + 13 + 169) * (1 + 22021) = 13 * 57 * 133 * 183 * 22022 =  397171152378,正好是 2 * 198585576189。

那我為何用上「假」一字呢?聰明的讀者也看得出 57 = 3 * 19,但原數的展開式找不到素因子 19,其實這情況在 133 = 7 * 19 和 183 = 3 * 61 上也可看見。原來這數假在 22021 上,笛卡兒指出若 22021 是素數便成全了這個奇完全數。但實際上,笛卡兒也知道的, 22021 = 192 * 61。

 

現時在奇完全數猜想 (Odd Perfect Number Conjecture) 的研究是相當稚嫩,主要從下列多方面入手:

 

1. 奇完全數所含的不同素因子個數問題

最先在這方面取得成果是特凱尼諾夫 (A. Turcaninov) ,他在 1908 年證明了奇完全數有不少於 4 個不同的素因子,並由此推出奇完全數的值不小於二百萬 。1980年,希基斯 (P. Hagis, Jr.) 證明了奇完全數有不少於 8 個不同的素因子。到了 2005 年,尼爾遜 (Race P. Nielsen) 證明了不奇完全數有不少於 75 個素因子,其中不同的素因子也至少達 9 個。

 

2. 奇完全數的下界 (Lower Bound) 問題

現在,借助電子計算機的高速,澳洲數學家布勒恩特 (Richard Brent 1946- ) 、高漢 (G. L. Cohen) 及拉依迪 (H. te Riele) 在 1991 年已經對 10300 以內的範圍搜索,證明沒有奇完全數的影子。在奇完全數若真的存在,相信會是大得嚇人。

 

3. 奇完全數的積性結構

歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) 給出這方面的第一個結果: 若 奇完全數 N = pe * k2,其中 p 為素數,p 不整除 k,且 p = e = 1 (mod 4)。關於 k 的類型也是數學家著力地方,其中 1971 年希基斯和麥丹尼爾 (Wayne McDaniel) 證明了 k 不是立方數 (Cubic Number)。

 

4. 奇完全數的最大素因子

希基斯和高漢在 1998 年證明了奇完全數必定有一不少於 7 位數的素因子。

 

數學家們從多方面探討奇完全數的性質,也是基於奇完全數存在的假設。但我們看到一個一個更大的下界、一個一個更大的素因子 數目下限得證,這只使是更相信奇完全數只是空中樓閣、鏡花水月,根本不存在。但數學還是信證明,但這一方根本推翻奇完全數的構想,路或會更難走。

 

參考文獻及網址

Oddperfect.org, http://oddperfect.org/index.html

Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991