未嘗完全的數

因為尋找或推翻奇完全數 (Odd Perfect Number) 的研究未有突破之時，數學家便訂立各類完全數的條件，希望對完全數 (Perfect Number) 多加認識。

　

殆完全數 (Almost-perfect Number) 即一數 n 的因子總和 (Sum of Divisors) 為 2n-1。若一數 n 的因子總和為 2n+1，則我們稱此數為擬完全數 (Quasi-perfect Number)。

我們知道所有 2 的冪數均是殆完全數，如 M=2^k，而 M 的因子必為 2⁰、2¹、2²、...、2^k-1、2^k，

其總和為 1 + 2 + 4 + 8 +...+ 2^k，即 2^k+1-1= 2(2^k)-1。

但是否存有非 2 的冪數的殆完全數呢，仍是一道待解之謎。

　

而理論上擬完全數必是奇平方數 (Odd Square Number)，這個從因子的奇偶性 (Parity) 可以看到，不妨留級網友自證。但可惜的事找遍很多的奇平方數，也未有例子，起碼少於 10³⁵ 的都沒有，少於七個不同素因子 (Prime Factor) 的也都沒有。

看來這一分類暫未對完全數研究起了一些作用，還有待時間證明一切。

　

參考文獻及網址：

Guy, R. K. "Almost Perfect, Quasi-Perfect, Pseudoperfect, Harmonic, Weird, Multiperfect and Hyperperfect Numbers." §B2 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 16 and 45-53, 1994.

Weisstein, E. W. "Almost Perfect Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/AlmostPerfectNumber.html.

Weisstein, E. W. "Quasiperfect Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/QuasiperfectNumber.html.