別的完全數

倍積完全數

完全數 (Perfect Number) 即 s(N)=2N ，若我們把這概念推廣至倍積完全數 (Multiperfect Number)，即 s(N)=kN，我們便稱為 「k 倍積完全數」(k-multiperfect Number)。若 k = 2 ，便是普通的完全數，本章只討論 k > 2 的情況。

如 k=3 ，672 是一例，讀者可自行驗證。比它更小的還有 120。

如 k=4 ，2178540 是一例，其素因子分解式為 2² * 3² * 5 * 7² * 13 * 19。

　

下表列出部分例子以供參考：

倍積完全數 N	倍數 k
120	3
30240	4
14182439040	5
(223)(37)(52)(74)(113)(172)(31)(41)(61)(241)(307)(467)(2801)	6
(246)(315)(53)(75)(11)(13)(17)(194)(23)(31)(37)(41)(43)(61)(89)(97)(151)(193)(911)(2351)(4513) (442151)(13264529)	7

　

多年以來，倍積完全數的倍數 k 的上限一直維持在 8 ，未有突破，其中傑東 (Stephen Gretton) 找到一個這樣的 8-倍積完全數：

(2⁶²)(3¹⁵)(5⁹)(7²)(11³)(17²)(19)(23)(29)(31²)(37)(41)(43)(53)(61²)(71²)(73)(83)(89)(97²)(127)(193)(283)(307)(317)

(331)(337)(487)(521²)(601)(1201)(1279)(2557)(3169)(5113)(92737)(649567)

這亦相信是最小的一個 8-倍積完全數，僅長 126 數位而已。

　

在 1992-1993年間，希倫尼斯 (Fred W. Helenius) 找到了好幾個 9-倍積完全數的例子，最小的一個是：

(2¹¹⁴)(3³⁵)(5¹⁷)(7¹²)(11⁴)(13⁵)(17³)(19⁸)(23²)(29²)(31²)(37⁴)(41)(43)(47²)(53)(61²)(67)(71)(73)(79²)(83²)(89²)(97)

(103)(109)(127)(131²)(151)(157)(167)(179²)(197)(211)(227)(331)(347)(367)(379)(443)(523)(599)(709)(757)(829)

(1151)(1699)(1789)(2003)(2179)(2999)(3221)(4271)(4357)(4603)(5167)(8011)(8647)(8713)(14951)(17293)(21467)

(29989)(110563)(178481)(530713)(672827)(4036961)(218834597)(16148168401)(151871210317)

(2646507710984041)

這是一個長 326 個數位的整數。

　

超完全數

何謂超完全數 (Superperfect Number) ？

我們知道完全數 (Perfect Number) 的定義是 s(N)=2N，若我們把 s(N) 改成 s^k(N) 即 s(s(......s(N).....)) ，即把這函數 (Function) 套上 k 次。若有數 N 滿足 s^k(N) =2N 的話，這 N 便是一 k超完全數 (k-Superperfect Number) 了。然而這是否存在？

我們當然可把殆完全數 (Almost Perfect Number) 和 擬完全數 (Quasi-perfect Number) 的定義引申過來：若有數 N 滿足 s^k(N) =2N-1 ，那便是殆超完全數 (Almost-superperfect Number) 或有數 N 滿足 s^k(N) =2N+1 ，那便是擬超完全數 (Quasi-superperfect Number)。但又問這是否存在？

數學家至今仍未找到超完全數。

　

元完全數

元完全數 (Unitary Perfect Number) 又是什麼？

在元完全數上我們只考慮真元因子總和 (Sum of Aliquot Unitary Divisors)。

　

元因子 (Unitary Divisor) 又是什麼？

某數 N 的元因子 d 使 N/d 與 d 互素 (Coprime)，如 20 的因子 1, 2, 4, 5, 10, 20 中的 1, 4, 5, 20 為元因子。我們或可這樣說，在 N 的素因子分解式 (Prime Factorization) 中，對於任一素數 p ，我們考慮 p^k， 而 k 是該素數在 N 的最高次方，這樣的 p^k 或 它們的乘積便是元因子了。

　

而真元因子 (Aliquot Unitary Divisors) 即不包括該數本身的其它元因子。

又如 60 ，60 = 2² * 3 * 5 所以 60 的元因子有 1, 3, 4 = 2², 5, 12 = 2² * 3, 15 = 3 * 5, 20 = 2² * 5, 60 = 2² * 3 * 5，而 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20，故 60 便是其中一個元完全數了。

別的元完全數還有 6, 60, 90, 87360, 146361946186458562560000 等。(OEIS A002827)

　

題外話，元完全數，以廣東話讀來頗繞口。這和另一樣數的類別 奇奇異數 (Odd Weird Number) 讀法一樣繞口，兩者雖無多大關係，我也不過借此登個廣告而已。若想進一步了解那奇奇異數有多奇異，可參看《偽完全數》。