奇異數

奇異數

偽完全數  (Pseudoperfect Number) 是豐數 (Abundant Number) (詳可參看另文《偽完全數》),但是不是所有豐數都是偽完全數呢?

答案是「不」。若一數是豐數,但不是偽完全數,我們稱該數為奇異數 (Weird Number) ,如 70 是一例。

 

70 的真因子 (Aliquot Divisor) 有 1、2、5、7、10、14 和 35,總和為 74。但怎樣找也找不到和是 70 的組合。

還有哪些奇異數呢?看看下表吧:

奇異數 真因子 真因子總和
70 1、2、5、7、10、14、35 74
836 1、2、4、11、19、22、38、44、76、209、418 844
4030 1、2、5、10、13、26、31、62、65、130、155、310、403、806、2015 4034
5830 1、2、5、10、11、22、53、55、106、110、265、530、583、1166、2915 5834
7192 1、2、4、8、29、31、58、62、116、124、232、248、899、1798、3596 7208
7912 1、2、4、8、23、43、46、86、92、172、184、344、989、1978、3956 7928
9272 1、2、4、8、19、38、61、76、122、152、244、488、1159、2318、4636 9328
10430 1、2、5、7、10、14、35、70、149、298、745、1043、1490、2086、5215 11170
10570 1、2、5、7、10、14、35、70、151、302、755、1057、1510、2114、5285 11318
10792 1、2、4、8、19、38、71、76、142、152、284、568、1349、2698、5396 10808

(OEIS A006037)

 

看罷上表,我們看全是偶數,到底有沒有奇奇異數呢?

有沒有奇奇異數 (Odd Weird Number)? (多繞口的一個名詞:第一個「奇」是指奇數,音「畸」;第 二個「奇」是指奇怪,音「其」。)

這還得大家努力。但在 1017 以內,未碰到一個奇異數是奇的。

 

本原奇異數

若一奇異數不為別的奇異數的倍數,該奇異數我們稱之為本原奇異數 (Primitive Weird Number),在 10000 以內,本原奇異數便有 70、836、4030、5830、7192、7912、9272 七個數 (OEIS A002975)。問題是本原奇異數是否有無限個呢?

 

上世紀,七十年代,數學家卡維迪斯 (Stanley Kravitz) 發現一條製作本原奇異數的公式:

若 Q 為一素數且

R = (2k*Q - Q - 1) / (Q + 1 - 2k) 且為素數

則 N = 2k-1*Q*R 為奇異數。他以這公式找到了一個 256 * (261-1) * 153722867280912929, 該數達 52 位之大。

留意上式中,若要 N 為奇數,得令 k = 1,但這樣 R = (2Q - Q - 1) / (Q + 1 - 2) = (Q - 1) / (Q - 1) = 1,不為素數。故上式給出的奇異數全是偶的。 

 

下表列一些以上公式得來的本原奇異數:

k Q R 本原奇異數
2 5 7 70
3 11 19 836
4 17 127 17272
4 19 71 10792
4 23 43 7912
4 29 31 7192
5 37 191 113072
5 41 127 83312
6 131 4159 34869056
6 139 1471 13086016
6 191 379 4632896
6 239 271 4145216

 

 

兩半和的聯想

大家亦可看看 10430 的因子,當中的 2 + 70 = 1 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35,即令 10430 有兩個方法把所有因子分成兩組而各自總和相等:

1 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 + 298 + 10430 = 2 + 70 + 149 + 745 + 1043 + 1490 + 2086 + 5215 = 10800 或

2 + 70 + 298 + 10430 = 1 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 + 149 + 745 + 1043 + 1490 + 2086 + 5215 = 10800

而 10430 是最小的一數具有這個性質。

上表中 10570 亦有相同的性質:

1 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 + 302 + 10570 = 2 + 70 + 151 + 755 + 1057 + 1510 + 2114 + 5285 = 10944 或

2 + 70 + 302 + 10570 = 1 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 + 151 + 755 + 1057 + 1510 + 2114 + 5285 = 10944

兩數的共通點是它們的素因子分解 (Prime Factorization) 分別是 2 * 5 * 7 * 149 和 2 * 5 * 7 *151 都是型如 2 * 5 * 7 * P,P 為素數且大於 70 的因子總和 (Sum of Divisors)。

這樣的數的因子為 1、2、5、7、10、14、35、70、p、2p、5p、7p、10p、14p、35p 和自己的 70p。

由於 1 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 = 2 + 70,同理 p + 5p + 7p + 10p + 14p + 35p = 2p + 70p,這樣把兩式交錯互配便有兩個分拆 (Partition) 方法來。

於是除了上述兩例外,還有 10990、11410、11690、12110、12530、12670、13370、13510、13790、13930 等亦有相同性質。

 

其實只要首十個本原奇異數存有兩半和的算式,其倍數的非本原奇異數 (Nonprimitive Weird Number) 便存有多於一個的分拆方法了。

奇異數 兩半和 因子總和的一半
70 2 + 70 = 1 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 72
836 4 + 836 = 1 + 2 + 11 + 19 + 22 + 38 + 44 + 76 + 209 + 418 840
4030 2 + 4030 = 1 + 5 + 10 + 13 + 26 + 31 + 62 + 65 + 130 + 155 + 310 + 403 + 806 + 2015 4032
5830 2 + 5830 = 1 + 5 + 10 + 11 + 22 + 53 + 55 + 106 + 110 + 265 + 530 + 583 + 1166 + 2915 5832
7192 8 + 7192 = 1 + 2 + 4 + 29 + 31 + 58 + 62 + 116 + 124 + 232 + 248 + 899 + 1798 + 3596 7200
7912 8 + 7912 = 1 + 2 + 4 + 23 + 43 + 46 + 86 + 92 + 172 + 184 + 344 + 989 + 1978 + 3956 7920
9272 1 + 8 + 19 + 9272 = 2 + 4 + 38 + 61 + 76 + 122 + 152 + 244 + 488 + 1159 + 2318 + 4636 9300
10792 8 + 10792 = 1 + 2 + 4 + 19 + 38 + 71 + 76 + 142 + 152 + 284 + 568 + 1349 + 2698 + 5396 10800
17272 8 + 17272 = 1 + 2 + 4 + 17 + 34 + 68 + 127 + 136 + 254 + 508 + 1016 + 2159 + 4318 + 8636 17280
45356 4 + 45356 = 1 + 2 +17 + 23 + 29 + 34 + 46 + 58 + 68 + 92 + 116 + 391 + 493 + 667 + 782 + 986 + 1334 + 1564 + 1972 + 2668 + 11339 + 22678 45360

 

當然一奇異數的某些倍數也會是奇異數,只要把一奇異數 N 乘上素數 P 而 P 大於 N 的因子總和。

下表列一萬以內的七個本原奇異數的首五個相應倍數的值:

奇異數 (N) 因子總和 新的非本原奇異數 (N*P)
70 144 70*149 = 10430、 70*151 = 10570、  70*157 = 10990、 70*163 = 11410、 70*167 = 11690、 ...
836 1680 836*1693 = 1415348 、836*1697 = 1418692 、836*1699 = 1420364 、836*1709 = 1428724 、836*1721 = 1438756、 ...
4030 8064 4030*8069 = 32518070、 4030*8081 = 32566430、 4030*8087 = 32590610、 4030*8089 = 32598670、 4030*8093 = 32614790、 ...
5830 11664 5830*11677 = 68076910、 5830*11681 = 68100230、 5830*11689 = 68146870、 5830*11699 =  68205170、 5830*11701 = 68216830、 ...
7192 14400 7192*14401 = 103571992、 7192*14407 =  103615144、 7192*14411 =  103643912、 7192*14419 = 103701448、 7192*14423 = 103730216、 ...
7912 15840 7912*15859 = 125476408、 7912*15877 = 125618824、 7912*15881 =  125650472、 7912*15887 =  125697944、 7912*15889 = 125713768、 ...
9272 18600 9272*18617 =  172616824、 9272*18637 =  172802264、 9272*18661 = 173024792、 9272*18671 = 173117512、 9272*18679 = 173191688、 ...

 

但原因何在呢?

本人試作解說:

設某奇異數 N 的因子總和 S,因為 N 為豐數故 S > 2N ,令 S - 2N = X。

又因為 N 為奇異數,即不存在 N 的部分真子總和 Y = X,即沒有部分真子總和等同多了的那一部分。故令 Y 不少於 X+1 或 Y 不多於 X-1。

設存有 素數 P > S > 2N。

考慮數 N*P,該數的因子順序為 1, ..., N, P, ..., N*P。

而其因子總和則為 S + P + ... + N*P = S + S*P = S*(1+P)

因為 N*P 亦是豐數 T = N*P 的因子總和 - 2N*P > 0

留意   S*(1+P) - 2N*P = S*P - 2N*P + S = X*P + S

由於 P > S,故上式 < (X+1)*P = Y*P。即不存有N*P 的部分真因子總和等於那多了的部分,自然也找不到足夠拼成 N*P 的真因子來。

證畢。

 

但這又得出一個問題來,是不是只有上述哪種奇異數的倍數,即奇異數 N 乘上素數 P 而 P 大於 N 的因子總和,才是奇異數?

似乎不是,看看一例:

222952 = 7192 * 31 = 23 * 29 * 312

 

式中 7192 是本原奇異數,但 31 遠比 7192 的因子總和,即 14400, 小得多。

這樣的例子還有 351956 = 836 * 421 = 22 * 11 * 19 * 421 ,而 836 的因子總和為 1680; 836 的倍數中,還有 487、 557、 563、 569、 571 等亦是奇異數。

 

參考文獻及網址

Guy, R. K. "Almost Perfect, Quasi-Perfect, Pseudoperfect, Harmonic, Weird, Multiperfect and Hyperperfect Numbers." §B2 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 45-53, 1994. ]

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 599 - Weird Number." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_599.htm.

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 600 - Follow Up to Puzzle 599." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_600.htm.

Weisstein, E. W. "Weird Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/WeirdNumber.html.