豐數真面目
這便是豐數
在自然數中，一數的真因子總和 (Sum of Aliquot Divisors) 比原數大，稱為豐數、盈數或過剩數 (Abundant Number)；反之真因子總和比原數小，便是虧數 (Deficient Number)。
我們亦有公式可計算一數的因子總和，即
s(n) = (p1r1+1-1)/(p1-1) * (p2r2+1-1)/(p2-1) * ...... * (pkrs+1-1)/(ps-1)
式中的 pi 為 n 的不同素因子，ri 為該素因子的指數， i = 1, 2, 3, ....., s。
當然若這 s(n) 大於 2n ，這便是豐數。
若把 1 至 100 的因子總和計出來，我們便會找到豐數如：12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, ... (OEIS A005101 )。 也找到虧數如：1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, ...... (OEIS A005100 )
但我們不難發現豐數大都是偶數，畢達哥拉斯學派 (Pythagoraen School) 的晚期學者尼科馬霍斯 (Nichomachus 約60 - 約120) 也以為如此。但實情並非如此，也有奇豐數，不過這要大一點，因為它們最少的也有 5 個素因子 。如：
如： 945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, ...... (OEIS A005231 )
其實豐數的倍數也會是豐數：
設 N 為一豐數，即其所有真因子總和 n1 + n2 + n3 + ... > N
而 k 為任意整數，kn1 + kn2 + kn3 + ... > kN 。但 kn1、 kn2 、 kn3 等都是 kN 的真因子 (Aliquot Divisor)，當然這 kN 還有別的因子未計於式中，故 kN 豐數。因此若一豐數不是別的豐數的倍數，我們稱之為本原豐數 (Primitive Abundant Number)。其實 N 是完全數 (Perfect Number)，我們也知 kN 也會是豐數，如第一個豐數 12 = 2*6，其中 6 便是第一個完全數。
54 和 56 是第一對豐數有相同的真因子總和，其和為 120；而下一對是 60 和 78 (和為 168) 及 66 和 70 (和為 144)。
尋找豐數
如何尋找豐數呢？本人想到一個有趣的方法：
豐數者， s(n) 大於 2n 也，即 s(n)/n > 2。
我們計算一數 n 的 s(n)/n 便可，在計算時，把 s(n)/n 按不同的素因子分開處理，我們便得
s(n)/n = [(p1r1+1-1) / (p1-1) / (p1r1)] * [(p2r2+1-1) / (p2-1) / (p2r2)] * ...... * [(psrs+1-1) / (ps-1) / (psrs)]
式中的 pi 為 n 的不同素因子，ri 為該素因子的指數， i = 1, 2, 3, ....., s。
我們把考慮 f(p,r) = (pr+1-1) / (p-1) / (pr)，把當中不同數值計算出來，見下表，再找尋大於 2 的組合。
f(p,r) |
2 |
3 |
5 |
7 |
11 |
13 |
17 |
19 |
23 |
1 |
1.5 |
1.33333 |
1.2 |
1.14286 |
1.09091 |
1.07692 |
1.05882 |
1.05263 |
1.04348 |
2 |
1.75 |
1.44444 |
1.24 |
1.16327 |
1.09917 |
1.08284 |
1.06228 |
1.05540 |
1.04537 |
3 |
1.875 |
1.48148 |
1.248 |
1.16618 |
1.09992 |
1.08330 |
1.06249 |
1.05555 |
1.04545 |
4 |
1.9375 |
1.49383 |
1.2496 |
1.16660 |
1.09999 |
1.08333 |
1.0625 |
1.05556 |
1.04545 |
5 |
1.96875 |
1.49794 |
1.24992 |
1.16666 |
1.1 |
1.08333 |
1.0625 |
1.05556 |
1.04545 |
6 |
1.98438 |
1.49931 |
1.24998 |
1.16667 |
1.1 |
1.08333 |
1.0625 |
1.05556 |
1.04545 |
7 |
1.99219 |
1.49977 |
1.25 |
1.16667 |
1.1 |
1.08333 |
1.0625 |
1.05556 |
1.04545 |
8 |
1.99609 |
1.49992 |
1.25 |
1.16667 |
1.1 |
1.08333 |
1.0625 |
1.05556 |
1.04545 |
9 |
1.99805 |
1.49997 |
1.25 |
1.16667 |
1.1 |
1.08333 |
1.0625 |
1.05556 |
1.04545 |
(註：上表只列約數，在計算時可能會使答案不準確。)
如考慮 f(2,2) * f(3,1) = (23-1)/(2-1)/(22) * (32-1)/(3-1)/3 = 7/4 * 4/3 = 7/3 > 2，
所以 12 = 22*3 便是一豐數。(12 的因子包括 1, 2, 3, 4, 6, 12 ，總和為 28)
對於這個函數 f(p,r) ，我們不難發現：
若 p > q，則有
f(p,r) < f(q,r)；
若 r > s，則有
f(p,r) > f(p,s)；
f(p,r) 是有界
(Bounded)，即存在一極限 (Limit)。其實 f(p,n) 是介乎 (p+1)/p 和 p/(p-1) 之間，這對我們作豐數的素因子個數估計應當很有幫助。
我在想：12 是第一個豐數；
若剔除 2 這個素因子，最小的豐數便是 945 = 33*5*7 (s(945) = 1920 > 1890 = 2*945)；
若剔除 2 和 3 這兩個素因子，最小的豐數有多大呢？可能會是 52*7*11*13*17*19*23*29 = 5391411025 (s(5391411025) = 10799308800 > 10782822050 = 2*5391411025)；
若剔除 2、 3 和 5 這三個素因子，最小的豐數又會有多大呢？可能會是 72*112*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67 = 2 01696 91981 10601 87767 56331；
(s(20169691981106018776756331) = 40533296085404775088128000 > 40339383962212037553512662 = 2*20169691981106018776756331)
若剔除 2、 3、 5 和 7 這四個素因子，又會怎樣，難以想像！
超豐數
我們若考慮 s(n) / n 的值，如取 n = 12, s(12) / 12 = 28 / 12 = 7 / 3，這是 12 或以下整數的一個最大紀錄。數學家把每一個使 s(n) / n 的值成為紀錄的數稱為超豐數 (Superabundant Number)，用數學的講法是 對所有 m < n， s(m) / m < s(n) / n。
下列為最初數個超豐數：
1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 2520, 5040, ... (OEIS A004394 )
閣下亦可在這裡看看首 500 個超豐數。
其實超豐數和高合數 (Highly Composite Number) 也有一定關係，所為高合數 n 是指一數的因子數目比所有小於 n 的整數為多。
下列為最初數個高合數：
1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 2520, 5040, ... (OEIS A002182 )
單看兩道數列 (Sequence)，以為一樣。實際不然，第一個不同的數為第十九項，即剛剛開始省略的第一項 7560 為高合數但卻不屬超豐數。
參考文獻及網址：
Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 329 - Odd Abundant Numbers not Divided by 2 or 3." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_329.htm.
Weisstein, E. W. "Abundant Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/AbundantNumber.html.
Weisstein, E. W. "Highly Composite Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HighlyCompositeNumber.html.
Weisstein, E. W. "Primitive Abundant Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PrimitiveAbundantNumber.html.
Weisstein, E. W. "Primitive Abundant Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SuperabundantNumber.html.
Wells, D. "Abundant Number." From The Most Mysterious Figure in Math - Prime Numbers. John Wiley and Sons Inc. P.7-8, 2005.
