豐數真面目

這便是豐數

在自然數中,一數的真因子總和 (Sum of Aliquot Divisors) 比原數大,稱為豐數、盈數或過剩數 (Abundant Number);反之真因子總和比原數小,便是虧數 (Deficient Number)。

我們亦有公式可計算一數的因子總和,即

s(n) = (p1r1+1-1)/(p1-1) * (p2r2+1-1)/(p2-1) * ...... * (pkrs+1-1)/(ps-1)

式中的 pi 為 n 的不同素因子,ri 為該素因子的指數, i = 1, 2, 3, ....., s。

當然若這 s(n) 大於 2n ,這便是豐數。

 

若把 1 至 100 的因子總和計出來,我們便會找到豐數如:12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, ... (OEIS A005101 )。 也找到虧數如:1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, ...... (OEIS A005100 )

但我們不難發現豐數大都是偶數,畢達哥拉斯學派 (Pythagoraen School) 的晚期學者尼科馬霍斯 (Nichomachus 約60 - 約120) 也以為如此。但實情並非如此,也有奇豐數,不過這要大一點,因為它們最少的也有 5 個素因子 。如:

如: 945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, ...... (OEIS A005231 )

 

其實豐數的倍數也會是豐數:

設 N 為一豐數,即其所有真因子總和 n1 + n2 + n3 + ... > N

而 k 為任意整數,kn1 + kn2 + kn3 + ... > kN 。但 kn1、 kn2 、 kn3 等都是 kN 的真因子 (Aliquot Divisor),當然這 kN 還有別的因子未計於式中,故 kN 豐數。因此若一豐數不是別的豐數的倍數,我們稱之為本原豐數 (Primitive Abundant Number)。其實 N 是完全數 (Perfect Number),我們也知 kN 也會是豐數,如第一個豐數 12 = 2*6,其中 6 便是第一個完全數。

54 和 56  是第一對豐數有相同的真因子總和,其和為 120;而下一對是 60 和 78 (和為 168) 及 66 和 70 (和為 144)。

 

尋找豐數

如何尋找豐數呢?本人想到一個有趣的方法:

豐數者, s(n) 大於 2n 也,即 s(n)/n > 2。

我們計算一數 n 的 s(n)/n 便可,在計算時,把 s(n)/n 按不同的素因子分開處理,我們便得

s(n)/n = [(p1r1+1-1) / (p1-1) / (p1r1)] * [(p2r2+1-1) / (p2-1) / (p2r2)] * ...... * [(psrs+1-1) / (ps-1) / (psrs)]

式中的 pi 為 n 的不同素因子,ri 為該素因子的指數, i = 1, 2, 3, ....., s。

 

我們把考慮 f(p,r) = (pr+1-1) / (p-1) / (pr),把當中不同數值計算出來,見下表,再找尋大於 2 的組合。

f(p,r)
2
3
5
7
11
13
17
19
23
1
1.5
1.33333
1.2
1.14286
1.09091
1.07692
1.05882
1.05263
1.04348
2
1.75
1.44444
1.24
1.16327
1.09917
1.08284
1.06228
1.05540
1.04537
3
1.875
1.48148
1.248
1.16618
1.09992
1.08330
1.06249
1.05555
1.04545
4
1.9375
1.49383
1.2496
1.16660
1.09999
1.08333
1.0625
1.05556
1.04545
5
1.96875
1.49794
1.24992
1.16666
1.1
1.08333
1.0625
1.05556
1.04545
6
1.98438
1.49931
1.24998
1.16667
1.1
1.08333
1.0625
1.05556
1.04545
7
1.99219
1.49977
1.25
1.16667
1.1
1.08333
1.0625
1.05556
1.04545
8
1.99609
1.49992
1.25
1.16667
1.1
1.08333
1.0625
1.05556
1.04545
9
1.99805
1.49997
1.25
1.16667
1.1
1.08333
1.0625
1.05556
1.04545

(註:上表只列約數,在計算時可能會使答案不準確。)

 

如考慮 f(2,2) * f(3,1) = (23-1)/(2-1)/(22) * (32-1)/(3-1)/3 = 7/4 * 4/3 = 7/3 > 2,

所以 12 = 22*3 便是一豐數。(12 的因子包括 1, 2, 3, 4, 6, 12 ,總和為 28)

 

對於這個函數 f(p,r) ,我們不難發現:

若 p > q,則有 f(p,r) < f(q,r);

若 r > s,則有 f(p,r) > f(p,s);

f(p,r) 是有界 (Bounded),即存在一極限 (Limit)。其實 f(p,n) 是介乎 (p+1)/p 和 p/(p-1) 之間,這對我們作豐數的素因子個數估計應當很有幫助。

 

我在想:12 是第一個豐數;

若剔除 2 這個素因子,最小的豐數便是 945 = 33*5*7 (s(945) = 1920 > 1890 = 2*945);

若剔除 2 和 3 這兩個素因子,最小的豐數有多大呢?可能會是 52*7*11*13*17*19*23*29 = 5391411025 (s(5391411025) = 10799308800 > 10782822050 = 2*5391411025);

若剔除 2、 3 和 5 這三個素因子,最小的豐數又會有多大呢?可能會是 72*112*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67 = 2 01696 91981 10601 87767 56331;

(s(20169691981106018776756331) = 40533296085404775088128000 > 40339383962212037553512662 = 2*20169691981106018776756331)

若剔除 2、 3、 5 和 7 這四個素因子,又會怎樣,難以想像!

 

超豐數

我們若考慮  s(n) / n 的值,如取 n = 12, s(12) / 12 = 28 / 12 = 7 / 3,這是 12 或以下整數的一個最大紀錄。數學家把每一個使   s(n) / n 的值成為紀錄的數稱為超豐數 (Superabundant Number),用數學的講法是 對所有 m < n, s(m) / m <  s(n) / n。

下列為最初數個超豐數:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 2520, 5040, ... (OEIS A004394 )

閣下亦可在這裡看看首 500 個超豐數

 

其實超豐數和高合數 (Highly Composite Number) 也有一定關係,所為高合數 n 是指一數的因子數目比所有小於 n 的整數為多。

下列為最初數個高合數:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 2520, 5040, ... (OEIS A002182 )

單看兩道數列 (Sequence),以為一樣。實際不然,第一個不同的數為第十九項,即剛剛開始省略的第一項 7560 為高合數但卻不屬超豐數。

 

參考文獻及網址

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 329 - Odd Abundant Numbers not Divided by 2 or 3." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_329.htm.

Weisstein, E. W. "Abundant Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/AbundantNumber.html.

Weisstein, E. W. "Highly Composite Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HighlyCompositeNumber.html.

Weisstein, E. W. "Primitive Abundant Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PrimitiveAbundantNumber.html.

Weisstein, E. W. "Primitive Abundant Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SuperabundantNumber.html.

Wells, D. "Abundant Number." From The Most Mysterious Figure in Math - Prime Numbers. John Wiley and Sons Inc. P.7-8, 2005.