倒數和與素數積

我們知道全體整數的倒數形成的級數是發散的，但全體整數的倒數的平方和又如何？立方和又怎麼樣？

德國數學家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-1866) 對此作過深入研究，並建立了黎曼 z 函數 (Riemann z Function)：

上式的左方正是全體整數的倒數 s 次方的總和，而右方則是包含全體素數的倒數的乘積公式。兩式相等嗎？這則全賴另一數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) 的發現了。

　

我們可以用這樣的方式解式兩式相等的：

z (s)    =    1 / 1^s + 1 / 2^s + 1 / 3^s + 1 / 4^s + 1 / 5^s + ...

1 / 2^s * z (s)    =    1 / 2^s + 1 / 4^s + 1 / 6^s + 1 / 8^s + 1 / 10^s + ...

　

兩式相減，便把所有 2 的倍數的項減掉：

(1 - 1 / 2^s) * z (s)    =    1 / 1^s + 1 / 3^s + 1 / 5^s + 1 / 7^s + 1 / 9^s + ...

再以 3 作同樣的事，又把餘下的所有 3 的倍數的項減掉：

(1 - 1 / 3^s) * (1 - 1 / 2^s) * z (s)    =    1 / 1^s + 1 / 5^s + 1 / 7^s + 1 / 11^s + 1 / 13^s + ...

再以 5、7、11... 每個素數作相同的事，這樣便把所有素數和其倍數的項減掉：

(1 - 1 / 2^s) * (1 - 1 / 3^s) * (1 - 1 / 5^s) * ... * z (s)    =    1 / 1^s = 1

這原理和埃拉托斯特尼篩法 (Sieve of Eratosthenes)的原理相若，我們再把那素數乘積移往右方，便得那乘積公式。

　

黎曼 z 函數的一些取值也相當特別，如：

z (2) = p²  / 6， z (4) = p⁴  / 90，z (6) = p⁶  / 945，z (8) = p⁸  / 9450，z (10) = p¹⁰  / 93555 ...

　

參考文獻及網址：

Weisstein, E. W. "Riemann Zeta Function." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html.