黎曼猜想

德國數學家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-1866)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

 

黎曼猜想 (Riemann Hypothesis, RH) 或譯作黎曼假設,那是指黎曼 z 函數 (Riemann z Function) 的所有複零點 ( Complex Zero)  的實部 (Real Part) 均為 1 / 2。

要討論黎曼猜想猜想的零點,一定要涉及複分析 (Complex Analysis) 的知識,這已超出了本網的要求,是故我們略而不談。

我們知道所有負偶數也是黎曼 z 函數的零點,我們稱為平凡零點 (Trivial Zero)。德國數學家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-1866) 除此以外的所有零點均是複數 (Complex Number) 且實部均為 1 / 2,即型如 1/2 + it。在複平面 (Complex Plane) 上實部為 1 / 2 的直線,我們稱為臨界線 (Critical Line)

 

黎曼猜想最早見於黎曼 1859年的一篇論文中《Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grossez》(英譯 《On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude》) (中譯《小於一給定量的素數的個數》)。最先研究黎曼 z 函數的是歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) ,他亦證明了該函數不存在零點的實部大於 1。而及後黎曼亦證明所有複零點的實部是介乎 0 與 1 之間,黎曼找到數個絕對值較小的零點,發現它們的實部全為 1 / 2 ,因而作了這個猜想。

 

1896年,法國數學家阿達瑪 (Jacques Hadamard 1865-1963) 和比利時數學家達拉瓦勒布桑 (Charles Jean de la Vallec Poussin 1866-1962) 分別證明到在實部等於 1 的直線上沒有零點,從而開展了證明素數定理 (Prime Number Theorem) 的第一步。

1900年,德國數學家希爾伯特 (David Hilbert 1862-1943) 把這猜想連同哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture) 等數論問題納入其未解二十三題數學難題中的第八題。他曾說過:「如果我五百年後復活,我第一個問題就是「黎曼猜想」(Riemann Hypothesis) 解決了沒有?」

1914年,英國數學家哈代 (Godfrey Harold Hardy 1877-1947) 證明了在臨界線上存有無數個複零點。換而言之,反過來證明臨界線外沒有複零點便可證明這猜想,但又談何容易呢。後來哈代聯同另一位英國人李特伍德 (John Edenser Littlewood 1885-1977) 找出臨界線上複零點的平均密度。

 

現在我們可以透過電腦的高速計算找到更多的複零點,看看會否存有反例。ZetaGrid 是一個尋找複零點的分散式計算程式,讓人們找出更多的複零點。2004 年 高頓 (Xavier Gourdon) 和 迪米可 (Patrick Demichel) 已找到數以兆計的複零點,但反例還是一個也沒有。

 

參考文獻及網址

Weisstein, E. W. "Riemann Hypothesis." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RiemannHypothesis.html.

Wikipedia. " Riemann Hypothesis." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis.

 

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