N! 的分解式

由 N! 談起

N! 是指 N的階乘 (Factorial) ，即 N! = N(N-1)(N-2)......(1)，由N 乘至1，而我們亦定義 0! = 1。

我們知道這 N! 也不會太少，當 N 越大，N! 越大得驚人，單是 50! 已有 65 個數位了。大家定會以為找其素因子分解式 (Prime Factorization) 可不容易了，原來我們亦有方法較簡易的把其素因子分解式完完全全的列為出來。

原來 N! 中素數 p 的指數 h 是這樣求出來的：h = [N/p] + [N/(p²)]+[N/(p³)]+.......

其中符號 [a] 意為 a 的整數部份 (Integral Part)，如 [1.23] = 1。若 p^s>N，則 [N/(p^s)] = 0，我們也不用理會了。

原因是這樣的，在 N! 中有素數 p 的倍數的個數為 [N/p] ，而含有多一個 p² 的倍數的個數為 [N/(p²)]，這樣每一個 p² 的倍數是會多給一個素因子 p 的，如此下去，我們便得出上述關於素數 p 的指數 h 的公式來。我們再不少於 N 的素因子一一計算其相關 h 值，便可把 N! 分解。

　

看看這一個簡例吧！試求 20! 的分解式。

先定素因子，不多於 20 的素數有：2、3、5、7、11、13、17和19。

再察看它們的指數

2 的指數	[20/2]+[20/4]+[20/8]+[20/16]=	10+5+2+1=	18
3 的指數	[20/3]+[20/9]=	6+2=	8
5 的指數	[20/5]=		4
7 的指數	[20/7]=		2
11 的指數	[20/11]=		1
13 的指數	[20/13]=		1
17 的指數	[20/17]=		1
19 的指數	[20/19]=		1

最後是列寫答案： 20! = (2¹⁸)(3⁸)(5⁴)(7²)(11)(13)(17)(19)

　

大家也可用上述方法求取 30!、 50! 甚至 100! 的分解式也不難了吧。

最後，順便一提，到底 20! 最未有多少個零？我們只要查看 2 和 5的指數中最小的一個便是答案，即是 8，20! 的最後帶著 8 個 0 的尾巴。為什麼？因為 10 = 2*5 ，若數值在未位多一個零，即多一對素因子 2 和 5。

　

向 N!! 推展

所謂 N!!，即雙階乘 (Double Factorial)，其定義如下：

N!! = N*(N-2)*(N-4)*......*2 (若 N 為偶數) 或 N!! = N*(N-2)*(N-4)*......*1 (若 N 為奇數)

當然也有三階乘 (Triple Factorial) 等。詳可參考《介紹兩個數學符號》一文。

　

那麼 N!! 的素因子分解式可以有公式找出來嗎？這也難不到我的。若有興趣動動腦筋的網友，不妨且不看本文，自己想想、找找、看看。

先看若 N 為偶數時，N!! = (2n)!! = 2ⁿ * n! ，那麼我們只要把其素因子分解式中的 2 的指數再加上 n = N / 2 便可以。

若 N 為奇數，則 N!! = (2n-1)!! = (2n)!/(2n)!! ，那麼我們只要把 (2n)! 和 (2n)!! 的素因子分解式各找出來，再把當中素因子的指數扣減便成。

　

如： 求 10!! 的素因子分解式：

我們取 n = 5，即 10!! = 2⁵ * 5! = (2³⁺⁵)(3)(5) = (2⁸)(3)(5)。

　

如：求 17!! 的素因子分解式：

我們取 n = 9，即 17!! = (2*9)!/(2*9)!!，

18! = (2¹⁶)(3⁸)(5³)(7²)(11)(13)(17) 而 18!! = 2⁹ * 9! = (2⁷⁺⁹)(3⁴)(5)(7)，指數扣減後得 17!! = (3⁴)(5²)(7)(11)(13)(17)。

　

其實三階乘以上的也可以此方法推算，網友不妨試找出尋找 N!!! 的素因子分解式的秘密吧。