全疊打的數學

714 和 715 這對連續數 (Consecutive Numbers) 有何特別?竟惹來數學家波門倫斯 (Carl Pomerance 1944- ) 的青睞?

在 1974 年 4 月 8 日美國棒球手阿倫 (Hank Aaron 1934- ) 以第 715 次全疊打 (Home Run),打破了魯斯 (Babe Ruth 1895-1948) 保持了很多年的職棒紀錄。魯斯的職棒生涯自 1914年至 1935年間,合共打出 714 次全疊打。波門倫斯和他的同事們便察看到這對連續數的特別,因而創製出魯斯-阿倫數對 (Ruth-Aaron Pair)。

 

現在讓我們看看這對連續數吧!

714 = 2 * 3 * 7 * 17

715 = 5 * 11 * 13

而 2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29。

這正是魯斯-阿倫數對的要求,一對連續數的素因子總和 (Sum of Prime Divisors) 相同。

但這不是最小的一對,(5, 6) 才是。順便一言,除 5 以外,魯斯-阿倫數對中不會再出現素數 (Prime Number)。

 

跟著我們又得問,我們是否考慮重覆的素因子呢?

若不考慮,我們有 (5,6) , (24,25) , (49,50) , (77,78) , (104,105) , (153,154) , (369,370) , (492,493) , (714,715) , (1682,1683) , ... (OEIS A006145)

如 49 = 72,但我們只視其素因子總和為7;而 50 = 2 * 52,亦只視作 2 + 5 = 7。

若考慮,我們便有 (5,6) , (8,9) , (15,16) , (77,78) , (125,126) , (714,715) , (948,949) , (1330,1331) , ... (OEIS A039752)

這回 15 = 3 * 5 ,其素因子總和為 3 + 5 = 8;而 16 = 24,我們則視為 2 +  2 + 2 + 2 = 8。

 

當然,對於如 (714,715) 這一組無平方因子數的魯斯-阿倫數對 (Squarefree Integers of Ruth-Aaron Pair),必定同屬上述兩組數列內。但亦有一些非無平方因子數的魯斯-阿倫數對 (Non-squarefree Integers of Ruth-Aaron Pair) 同屬兩組的,如 (7129199,7129200),

其中 7129199 = 7 * 112 * 19 * 443,而 7129200 = 24 * 3 * 52 * 13 * 457;

7 + 11 + 19 + 443 = 2 + 3 + 5 + 13 + 457 = 480;

7 + 11 + 11 + 19 + 443 = 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 13 + 457 = 491。

不久以後,愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996) 和波門倫斯一同證明了魯斯-阿倫數對存有無限多對。

 

會否有更長的魯斯-阿倫數組呢?直到 2006年為止,我們只找到四組魯斯-阿倫三元數組 (Ruth-Aaron Triplet):

89460294 = 2 * 3 * 7 * 11 * 23 * 8419

89460295 = 5 * 4201 * 4259

89460296 = 2 * 2 * 2 * 31 * 43 * 8389,若不計算重覆素因子的話,素因子總和同為 8465。

 

151165960539 = 3 * 11 * 11 * 83 * 2081 * 2411

151165960540 = 2 * 2 * 5 * 7 * 293 * 1193 * 3089

151165960541 = 23 * 29 * 157 * 359 * 4021,又是不計算重覆素因子,這次素因子總和少一點,同為 4589。

 

417162 = 2 * 3 * 251 * 277

417163 = 17 * 53 * 463

417164 = 2 * 2 * 11 * 19 * 499,這一組得計算重覆素因子,其素因子總和同為 533。

 

6913943284 = 2 * 2 * 37 * 89 * 101 * 5197

6913943285 = 5 * 283 * 1259 * 3881

6913943286 = 2 * 3 * 167 * 2549 * 2707,這一組又是要計算重覆素因子,其素因子總和同為 5428

 

參考文獻及網址

Wikipedia. "Ruth-Aaron Pair." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Ruth%E2%80%93Aaron_pair.