二進制小玩意

老玩意

二進制 (Binary Numeral System) 即逢二進一，只有 0 和 1 的數學。但由於電腦內的電路只有流通和中斷，所以二進制是電腦依賴的運算模式。我們學習二進制，當然也是為了進一步走進電腦，這現代文明必不可少的工具的世界之中了。本章不是討論什麼是二進制，相信學生們在中學也接觸過，或然更接觸過這個小遊戲。對，本章是介紹小遊戲的。

在一些咭紙上寫上一些數字 (0 - 99)：

第一張	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ... , 99
第二張	2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, ... , 99
第三張	4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, ... , 95
第四張	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, ... , 95
第五張	16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, ... ,95
第六張	32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, ... , 99
第七張	64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, ... , 99

第一組開始為 1 = 2⁰，寫下 1 個數，之後的 1 個數不寫，之後的 1 個數寫，如此下去；

第二組開始為 2 = 2¹，寫下 2 個數，之後的 2 個數不寫，之後的 2 個數寫，如此下去；

第三組開始為 4 = 2²，寫下 4 個數，之後的 4 個數不寫，之後的 4 個數寫，如此下去；

第 N 組開始為 2^N-1，寫下 2^N-1個數，之後的 2^N-1 個數不寫，之後的 2^N-1 個數寫，如此下去。

由於 99 < 128 = 2⁷，故不用作以 128 開首的數咭，即作 7 張咭。

　

玩法是，讓一名朋友心中默想一個數字，然後問他數字在哪張咭上，再把有該數字的咭的第一個數字加起來，那便是朋友默想的數字。順便一言，若朋友發現那數字不存在任何一張咭中，那便是「0」了。

原因也便淺顯，其實 0 - 99 每一個數字均可化成二進制，如 19 = 10011₍₂₎、74 = 1010100₍₂₎ 等。我們發現每個數均須用七個位來表示 (若不用的在前方補零) ，把自右算起第一個位是 1 的數字寫於第一張咭上，把第二個位是 1 的數字寫於第二張咭上，如此類推。這樣，每個數字的值正是該張咭的第一個數字，把有該數字的咭的第一個數字加起來，那便是朋友默想的數字了。

　

新意思

有一回，說來也是數年前了，零四年，我還在香港中文大學 (Chinese University of Hong Kong) 修讀教育文憑之時。那堂的主題該是數學遊戲 (Mathematical Game) ，恩師羅浩源 (Hok Yuen Law) 展示了一個以名字代替數字的 4 X 4 方陣 (Matrix) 。原理和上述玩意相同，但把那有孔的問題咭覆上以後，答案自得呈現孔洞之中，不用計算。

後來，到天水圍官立中學 (Tin Shui Wai Government Secondary School) 任教之際，該是零六年左右的事吧。我教授二進制之時便想起這玩意，但我想 4 X 4 = 16，如何可填滿一班 40 人呢？於是我把方陣弄大了，幹個 8 X 8 = 64 的，把當年任教多班的學生的姓氏寫進去。 後來我想，初到新一班的第一堂，以這玩意估估學生姓氏也不錯，反正老師應當可在點名紙找到學生名諱，只是不知誰是誰而已。

　

　

　

先作一張寫了六十四個姓氏的方陣，再分別作六張各有一半格子寫上姓氏的方陣，把六張咭紙中沒有姓氏的位置剪掉，形成一個孔洞。 (紙樣可在這邊下載， 各人可以自己需要更改為合用的文字。)

玩法一樣是讓朋友默想一字，或其姓氏，然後拿有孔的咭紙一一細問當中有否。留意由於文本中有孔咭紙的姓氏位置和底紙相同 (這一點和照片展示的舊版本略有不同)，故覆蓋時有一些技巧：

若朋友答沒有，便把那張紙正面覆上，蓋掩咭紙標示的文字；

若朋友答有，便把那張紙反轉覆上，蓋掩咭紙沒標示的文字。但留意，垂直空洞的須左右反轉後覆上，而水平空洞的 (如上圖) 則須上下反轉後才覆上。

把一張一張的咭紙覆上以後，在孔洞之中便會看見朋友所默想的字或其姓氏了。

　

大家要問，為何一下子由 16 格擴到 64 格呢？其實有原因的，一為了左右、上下對稱，我們必須用平方數 (Square Number)。不錯 36、25等也是平方數，但得使邊長成為 2 的方冪 (Power)，若然不是，制作有孔的咭紙時會有點困難。這樣便一下了由 16 「跳到」64來，再「跳」一級便會是 256 了，說不定全校學生的姓氏也可譜上。