四則運算顯功力 - 算 24

算 24 的威力

算 24 (24 Game) ，亦有人稱作 24 點，是一種撲克牌 (Poker Cards) 的玩意。以每一張牌代表一個正整數，隨意抽四張，看看可否把該四個數字，各只出現一次，以加、減、乘、除四則運算及括號 (亦有玩法包括乘方) 創作一道算式，使算式結果為 24。有人為了方便起見，抽起 J、Q、K 和小丑牌 (Joker) 不用；亦有人把 J、Q、K 視作 11、12 和 13 一起使用；甚至有人連小丑牌也用，視為 14，其實玩法很多，只要玩方約定了便行。

　

有人喜歡自我娛樂，自抽自答；有人喜歡分隊競先，由一主持人抽問，看誰最先搶答；有人喜歡把答案記下，然後待所有人答畢後，一次開看：玩法多樣，任君選擇。

　

說來不知，此遊戲最先出現於 1960年左右的上海，及後在中、美兩國相當流行。

　

說回該遊戲，若抽到 A、2、3、4，我們可以作

1 * 2 * 3 * 4 = 24

(1 + 2 + 3) * 4 = 24

這兩式或別的算式。

　

又如，抽到 10、J、Q、K，我們可以作

13 + 12 - 11 + 10 = 24

　

若抽到相同數字，便代該數字得使用多次，如抽到 5、8、8、9，便代表算式中得有兩個 8，我可以

(9 - 5) * 8 - 8 = 24

9 / (8 - 5) * 8 = 24

　

為何算式的結果一定要 24 呢？我想可能因為 24 因子 (Factor) 較多，可以較容易組合出來。所以玩算 24 可有策略，基本的我們可以使用一些可以組成 24 的組合，如 3 * 8 、 2 * 12 、 4 * 6 、 10 + 16 、 25 - 1 等，然後再思考如何用手上的數字組合成相關的部件。其次是如何使用大數字，因為對於 9 以上的大數字，我們通常不太善用，懂得如何使用也是一個關鍵。然而有的抽出來的牌的組合任你怎拼也拼不出  24 來，也許判斷是否可以拼成 24 也是需要玩者的智慧。看，這遊戲需要工具不多，亦可以有效訓練數學計算能力，大家不妨試玩一玩。

　

算 24 的組合

其實要全找給定數值的算 24 解也不難。給定四數，如 A、B、C、D，我們可以把四數打橫列寫。但得問誰先誰後呢？這兒有 4! = 24 個不的組合。

ABCD	ABDC	ACBD	ACDB	ADBC	ADCB
BADC	BACD	BDAC	BDCA	BCAD	BCDA
CDAB	CDBA	CADB	CABD	CBDA	CBAD
DCBA	DCAB	DBCA	DBAC	DACB	DABC

　

我們定了四個數字的「出場序」以後，還得問問誰先作計算，即括號的配置，方法不外如下五種：

((X, X), X), X 或 (X, (X, X)), X 或 X, ((X, X), X) 或 X, (X, (X, X)) 或 (X, X), (X, X)

　

當中每兩個數字之間的運算符號可以是加、減、乘、除 (或乘方) 中選其一。 當然我們實際書寫時，把當中一些括號刪掉也不影響到計算的順序。

　

總結，只用四則算法的話，那不過是 4! * 5 * 4³ = 7680 種可能結果而已；縱然再加上乘方，也不過 13500 種可能結果而已。其實這萬多種能結果是有重覆的。不論如何，我們可把當中各個可能作試算，把等同 24 的算式列出便成。

　

再考慮及不同牌值的組合，我們有 ₁₃₊₃C₄ 個，即 16*15*14*13 / 24 = 1820 個。故若閣下希望找齊所有二十四點的解的話，只要作下列次數的測試便可以：

1820 * 7680 = 13977600 或 1820 * 13500 = 24570000 次

以現代的科技，也用不著待多久呢。

　

順便一言，若只允許使用四則作運算方法，則在這 1820 個組合中有 458 個組合無解，若允許使用乘方的話，這數目也會因而減少。

　

偶爾在網上找到一個程式 (http://www.mathfan.com/Common/HTML/GAME/24.html)， 未知是否應用了我先前說過的方法。但這程式可以在給定四張撲克牌的牌值和要求的結果，便可找齊不同的，以四則和乘方組成的算式，有興趣者不妨登網一試。 本人把此程式的結果集結，編成一個解集，「二十四點玩法提要」，有興趣者可下載一看。

　

算 24 的推廣

推廣一：增加運算方法

我們可以增加乘方、平方根 (Square Root)、小數點、循環點等運算方法，甚至階乘 (Factorial)、素連乘 (Primorial) 、把兩個單位數合成一個雙位數等，以增加可運算的組合數和運算方式。

如抽到 A、A、A、2，只用四則，我看不出這組合有解法。現在我們可以

(1 + 1 + 1 * 2)!  = 24

(11 + 1) * 2 = 24

但我們得留意一點，加、減、乘、除或乘方都是把兩個輸入值變成一個輪出值的運算，但平方根、階乘或素連乘卻只需要一個輸入值。如 9 的平方根為 3，我們如接納使用平方根，我們便可以把 9 視作 3 來運用；又如 3! = 6，協定了容許使用階乘，也得要容許 3 可作 6 來用：這樣運算容易了，但動腦筋的機會也少了。

　

推廣二：增加抽牌數目

我們可以增加牌數，以增加使用的數字數目，但留意我們縱然可抽五張牌，也不會有五個相同的數值，為何？看看自己的那副樸克牌吧。

如以五張牌 A、3、5、7、9，我們可以

(3 + 5) * (9 - 7 + 1) = 24

(1 + 5) * (7 - 9 / 3) = 24

　

推廣三：改變答案數值

我們可以改變 24 這個答案的數值，但得找一些因子較多且大小合宜的數字作答案，如 18、28、30、36 等。

如以四張牌 2、4、6、8 製作算式，使結果為 28，我們可以

6 * 4 + 8 / 2 = 28

　

這些推廣可以混合使用，增加這遊戲的耐玩程度。

　

參考文獻及網址：

Wikipedia. "24 Game." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/24_Game.

李尚志 ,  "算 24 - 運算律點石成金" , 自 數學的神韻 , 北京 : 科學出版社 , 2010 , pp 1-3.