決戰三角

三角六兄弟關連多

 

以往修讀附加數學 (Additional Mathematics) 或在新高中修讀選修部份的同學們,除了認識了三角學 (Trigonometry) 中較為人認識的  SIN 、 COS 和 TAN 三兄弟外,還得認識 COT 、 SEC 和 CSC 這三位計算機上找不到的朋友。要把全家六兄弟活記,可不容易。說這六兄弟,他們最動人的地方還是他們的關係密切,一時 A 乘 B 等於 C,一時把 X 倒數 過來又會是 Y 。看看下表便可知一二:

 

相乘結果 SIN X COS X TAN X COT X SEC X CSC X
SIN X       COS X TAN X 1
COS X     SIN X   1 COT X
TAN X   SIN X   1   SEC X
COT X COS X   1   CSC X  
SEC X TAN X 1   CSC X    
CSC X 1 COT X SEC X      

註:沒標示的代表不是簡單一個函數足夠表示。

 

三角六邊形

 

我們亦可以上圖的六邊形來幫助記憶諸多的三角痤它﹛G

  同一水平線橫看的兩個函數值成補角關係:
    sin(90o - X) = cos X;cos(90o - X) = sin X;tan(90o - X) = cot X;cot(90o - X) = tan X;sec(90o - X) = csc X;csc(90o - X) = sec X;
     
  每條對角線兩端的函數值顯示著倒數關係:
    sin X * csc X = 1; cos X * sec X = 1; tan X * cot X = 1
     
  相鄰的三個函數值,左邊的相等於中間的除以右邊的:
    sin X = cos X / cot X ; cos X = cot X / csc X; cot X = csc X / sec X; csc X = sec X / tan X; sec X = tan X / sin X; tan X = sin X / cos X
     
  黑色倒三角形上方兩函數值的平方和正是下方函數值的平方:
    sin2 X + cos2 X = 1;tan2 X + 1 = sec2 X; 1 + cot2 X = csc2 X;

 

開初的簡易版

 

 

本遊戲創製過程出了兩個版本,讓我先由初版談起。選用七十二張咭片,為何用七十二這個數,原因無它,因為我喜歡的一套樹葉圖案的咭紙共有七十二款。初版在咭紙上分別寫上 SIN X、 COS X、TAN X、COT X、 SEC X、 CSC X、1 和 INV(倒數) 八個字樣,每個字樣的咭牌各有九張。

 

這遊戲供四至八人玩,每人拿牌五張,輪流出牌,最快使手上的牌全出掉便是勝利。

開始時,第一人先放下一張目標牌,除 INV 牌外任何一款均可以是目標牌。

第二人需放下一張和目標牌相同的牌或一個組合,即各牌乘積結果與目標牌的值相同的組合,牌數不限。如第一人放下了刻有 1 的牌作目標牌,第二人手上沒有 1這張牌 ,但有 SIN X 和 CSC X,他亦可以放下這兩張牌因為它們的乘積為 1。

 

INV 牌的作用是把某一張咭作倒數運算,如一人有兩張 TAN X 的牌,本來不能出的,因為乘積不是 1,但若配上 INV 牌把其中一個 TAN X 作倒數運算, 即 TAN X 和 TAN X 的倒數 (COT X) 的乘積,答案便是 1 了。但得留意, INV 牌是作用於某一三角函數牌中,不可單獨使用,也不可作用於「1」牌之上。但作用於同一張三角函數牌的 INV 牌數目則不受限制,如某人有三張 INV 牌和一張 COS X 牌,可一同展示,結果為 COS X 的倒數,即 SEC X。

 

若一人無法放牌,便得抽牌一張,抽了牌的人這回合便不可再放牌了。

但若某人放了牌以後,其餘眾人也沒法再放牌的話,這回合便算完結。由放最後一組牌的人重新任意放過新的一張目標牌,開展新一回合。直至有人使手牌盡放這遊戲便告完結, 最快使手上無牌的那個人便是勝利者了。

 

但得留意兩點:一是若輪到某人展示目標牌,但他手上只有 INV 牌,他便得抽牌一張並展示出來作為目標牌,若新抽的牌又是 INV 牌,則某人得把牌收起,再抽一張,直至不是 INV 牌為止。二是若某人出了錯的組合或計算錯誤,便得收回所出的 所有牌及罰抽牌三張。也得奉勸兩點:一是小心計算,二是明察別人的計算。

 

修訂的完全版

 

 

初感初版牌種不多,玩來或感乏悶。於是加以改進,再製第二版。在這我稱為「完全版」的版本中,本人作了一些調整,首先引入正負號, SIN X、 COS X、TAN X、COT X、 SEC X、 CSC X每款配以正、負號各五張,如 + SIN X 和 - SIN X。另加 + 1 、 - 1和 INV (倒數) 各四張。玩法和初版相同,只是我們得留意各函數的正負值而已 。再者,主菜以打印機代替手寫,加上「素網」網址和數學家銘言伴碟,相信會更具玩賞價值了。

 

這樣具數學性的玩意,市場也上當然找不到了。本人希望增加學生對三角函數之間關係,特別乘積關係上的認識。如有興趣者,亦可下載以下文本的 PDF 檔,自行印製於咭紙上:

 

簡易版「決戰三角」

完全版「決戰三角」

 

 

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