左一拳右一拳的數學
猜拳老玩意
「左一拳，右一拳。」素網不是鼓吹暴力，那裡說的「拳」不過是指「猜拳」而已。猜拳這玩意由來久已，在中國可追溯至明代，陸容的《菽園雜記》中有載：「今人以猜拳為藏鬮，殷仲堪與桓玄共藏鉤，顧愷之取鉤，桓遂勝。或言鉤弋夫人手拳曲，時人效之，因為此戲。」「猜拳」古代又名「藏鬮」、「藏鉤」，陸容認為此遊戲的源頭更可追溯至漢代的鉤弋夫人，是否如此，暫難言實。
猜拳玩法很多，簡單而言，以手作出不同的手型，一同展示，以定勝負。我們常玩的「石頭、剪子、布」(廣東人稱「猜情尋」或「包剪揼」) 便是一例。
「石頭、剪子、布」的玩法，我相信大家都知曉，但還是許我多言，作個簡單描述吧。玩者一同展示「石頭」、「剪刀」或「布」任一個手型，「石頭」勝「剪刀」，而「剪 刀」勝「布」，「布」則勝「石頭」；若展示的手型相同，則算和，再來一次，直至分出高下為止。我們可以猜拳作玩樂，也可以此作決定，用途很廣。
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| 石頭 | 剪刀 | 布 |
表面上勝、負、和的概率各為 1/3 。但由於和得再猜，直至分出高下為止。故實際上不存有和的可能性，而某一方勝的概率為
1/3 + (1/3)2 + (1/3)3 + (1/3)4 + ...
= (1/3) / [1- (1/3)] = 1/2
勝的概率為半，負者亦然，基本上是一公平遊戲。我教授等比級數求無限和時，常喜用此例。
左一拳右一拳
有一回，下課乘車返家，看見有兩名小學生玩猜拳。他們一同喊「左一拳」，便一同左手出拳；再喊「右一拳」，便再一同右手出拳；第三回同喊「大家一同收一拳」，便同把其中一手縮回：看看餘下所出的拳誰勝誰負。我在旁看 得很入神，他們或許以為我嫌他們吵，偶爾壓著嗓子，但這樣猜拳又怎會玩得盡興呢。未幾，他們又引吭大叫起來，好不開心。我看著想著，這玩法確比原有的猜拳來得耐玩一點，但是否有策略可言呢？回家思考了一會。
首先我們知道出左拳機本上是沒有策略可言的，但出右拳或可因著左拳的結果而有所變化，到最後收拳也定有策略以尋求最大的勝機。我們亦知道左右手所持的手型應當不同，不然對方便可預知結果，我方的收拳亦變得無意義了。
我們試以逆向思考方法，即反過來自結果向前推敲，先分析收拳的策略，再看出右拳的變化吧。
當你我雙方左右手同示時，由於左右手手型必定不同，故只有兩個可能結果。第一是你我左右手手型合起來是相同的，如大家同出了「石頭」和「布」；第二是你我左右手手型合起來是不相同的，如你出了「石頭」和「剪刀」，而我則是「布」和「剪刀」。但留意，在第二情況下，我們仍有其中一個手型是相同的。
現在讓我們看看下表，對不同的情況作個分析吧。
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在情況一，誰留下「布」便是立於不敗，反之留下「石頭」的便是不勝，故我們當會留下「布」，而最終結果自然成了「和局」了。
在情況二，若我是甲方，便會留下「剪刀」便立於不敗。若我是乙方表面上得留取唯一可取勝的「布」，但若明白對方策略，便得留下「剪刀」，而結果又是「和局」。
看了上述兩個情況以後，大家該明白，我們出右拳以後，若達至情況二的甲方，那便最理想了。那麼出右拳又有何種技巧呢？
出了左拳後，只有三種可能：一是我方暫勝，二是打和，三是我方暫敗。
先談我方暫勝的一刻，如我出「石頭」而對方握「剪刀」，那對方下一回應當會出「布」，不然對方沒法取勝。這時候，我若出「布」，我便成了上表情況二的乙方，難望言勝：故我得出「剪刀」，當上情況二的甲方。
若雙方暫和，如兩人均出「石頭」，對方下一回理應出「布」，故我方亦應出「布」，成全上表情況一。
若我方暫敗，則難以估計對方下一回會出什麼了。如我出「石頭」而對方握「布」，則下一回對方出「石頭」或「剪刀」均可能。
| 對方右手出拳 | |||
| 石頭 | 剪刀 | ||
| 我方右手 出牶 |
剪刀 | 情況二乙 | 情況二甲 |
| 布 | 情況一 | 情況二乙 | |
顯然，我方再出「剪刀」，有一半可能勝會達至情況二我是甲方的可能，故我方應出「剪刀」。
基本上「石頭」、「剪刀」、「布」的可能結果是相同的，故我只言一例。如兩人均出「石頭」的例子，其實兩人同出「布」或兩人齊出「剪刀」的處理是相同的。以此策略，玩這左一拳右一拳的遊戲理應不敗，問題只是在一瞬間，我們要求的是本能而非思考呢。
最後附上出拳表一個以展示下一回應出什麼：
| 出拳表 | 我方左手出拳 | |||
| 石頭 | 剪刀 | 布 | ||
| 對方左手 出拳 |
石頭 | 布 | 布 | 剪刀 |
| 剪刀 | 布 | 石頭 | 石頭 | |
| 布 | 剪刀 | 石頭 | 剪刀 | |
最後的最後附上收拳表一個以展示下一回應收起什麼：
| 收拳表 | 我方左手出拳 | |||
| 剪刀 / 布 | 布 / 石頭 | 石頭 / 剪刀 | ||
| 對方左手 出拳 |
石頭 / 剪刀 | 布 | 布 | 剪刀 |
| 剪刀 / 布 | 布 | 石頭 | 石頭 | |
| 布 / 石頭 | 剪刀 | 石頭 | 剪刀 | |
