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左一拳右一拳的數學

猜拳老玩意

「左一拳,右一拳。」素網不是鼓吹暴力,那裡說的「拳」不過是指「猜拳」而已。猜拳這玩意由來久已,在中國可追溯至明代,陸容的《菽園雜記》中有載:「今人以猜拳為藏鬮,殷仲堪與桓玄共藏鉤,顧愷之取鉤,桓遂勝。或言鉤弋夫人手拳曲,時人效之,因為此戲。」「猜拳」古代又名「藏鬮」、「藏鉤」,陸容認為此遊戲的源頭更可追溯至漢代的鉤弋夫人,是否如此,暫難言實。

 

猜拳玩法很多,簡單而言,以手作出不同的手型,一同展示,以定勝負。我們常玩的「石頭、剪子、布」(廣東人稱「猜情尋」或「包剪揼」) 便是一例。

 

「石頭、剪子、布」的玩法,我相信大家都知曉,但還是許我多言,作個簡單描述吧。玩者一同展示「石頭」、「剪刀」或「布」任一個手型,「石頭」勝「剪刀」,而「剪 刀」勝「布」,「布」則勝「石頭」;若展示的手型相同,則算和,再來一次,直至分出高下為止。我們可以猜拳作玩樂,也可以此作決定,用途很廣。

 

石頭 剪刀

 

表面上勝、負、和的概率各為 1/3 。但由於和得再猜,直至分出高下為止。故實際上不存有和的可能性,而某一方勝的概率為

1/3 + (1/3)2 + (1/3)3 + (1/3)4 + ...

= (1/3) / [1- (1/3)] = 1/2

勝的概率為半,負者亦然,基本上是一公平遊戲。我教授等比級數求無限和時,常喜用此例。

 

左一拳右一拳

有一回,下課乘車返家,看見有兩名小學生玩猜拳。他們一同喊「左一拳」,便一同左手出拳;再喊「右一拳」,便再一同右手出拳;第三回同喊「大家一同收一拳」,便同把其中一手縮回:看看餘下所出的拳誰勝誰負。我在旁看 得很入神,他們或許以為我嫌他們吵,偶爾壓著嗓子,但這樣猜拳又怎會玩得盡興呢。未幾,他們又引吭大叫起來,好不開心。我看著想著,這玩法確比原有的猜拳來得耐玩一點,但是否有策略可言呢?回家思考了一會。

 

首先我們知道出左拳機本上是沒有策略可言的,但出右拳或可因著左拳的結果而有所變化,到最後收拳也定有策略以尋求最大的勝機。我們亦知道左右手所持的手型應當不同,不然對方便可預知結果,我方的收拳亦變得無意義了。

 

我們試以逆向思考方法,即反過來自結果向前推敲,先分析收拳的策略,再看出右拳的變化吧。

 

當你我雙方左右手同示時,由於左右手手型必定不同,故只有兩個可能結果。第一是你我左右手手型合起來是相同的,如大家同出了「石頭」和「布」;第二是你我左右手手型合起來是不相同的,如你出了「石頭」和「剪刀」,而我則是「布」和「剪刀」。但留意,在第二情況下,我們仍有其中一個手型是相同的。

 

現在讓我們看看下表,對不同的情況作個分析吧。

情況一 甲方餘下的
石頭 布    
乙方

餘下的

石頭
情況二 甲方餘下的
石頭 剪刀
乙方

餘下的

剪刀

 

在情況一,誰留下「布」便是立於不敗,反之留下「石頭」的便是不勝,故我們當會留下「布」,而最終結果自然成了「和局」了。

在情況二,若我是甲方,便會留下「剪刀」便立於不敗。若我是乙方表面上得留取唯一可取勝的「布」,但若明白對方策略,便得留下「剪刀」,而結果又是「和局」。

 

看了上述兩個情況以後,大家該明白,我們出右拳以後,若達至情況二的甲方,那便最理想了。那麼出右拳又有何種技巧呢?

出了左拳後,只有三種可能:一是我方暫勝,二是打和,三是我方暫敗。

先談我方暫勝的一刻,如我出「石頭」而對方握「剪刀」,那對方下一回應當會出「布」,不然對方沒法取勝。這時候,我若出「布」,我便成了上表情況二的乙方,難望言勝:故我得出「剪刀」,當上情況二的甲方。

若雙方暫和,如兩人均出「石頭」,對方下一回理應出「布」,故我方亦應出「布」,成全上表情況一。

若我方暫敗,則難以估計對方下一回會出什麼了。如我出「石頭」而對方握「布」,則下一回對方出「石頭」或「剪刀」均可能。

 

  對方右手出拳
石頭 剪刀
我方右手

出牶

剪刀 情況二乙 情況二甲
情況一 情況二乙

 

顯然,我方再出「剪刀」,有一半可能勝會達至情況二我是甲方的可能,故我方應出「剪刀」。

 

基本上「石頭」、「剪刀」、「布」的可能結果是相同的,故我只言一例。如兩人均出「石頭」的例子,其實兩人同出「布」或兩人齊出「剪刀」的處理是相同的。以此策略,玩這左一拳右一拳的遊戲理應不敗,問題只是在一瞬間,我們要求的是本能而非思考呢。

 

最後附上出拳表一個以展示下一回應出什麼:

出拳表 我方左手出拳
石頭 剪刀
對方左手

出拳

石頭 剪刀
剪刀 石頭 石頭
剪刀 石頭 剪刀

 

最後的最後附上收拳表一個以展示下一回應收起什麼:

收拳表 我方左手出拳
剪刀 / 布 布 / 石頭 石頭 / 剪刀
對方左手

出拳

石頭 / 剪刀 剪刀
剪刀 / 布 石頭 石頭
布 / 石頭 剪刀 石頭 剪刀