三陸奇談

看六六六這數

日本有一城市名曰三陸,位於本州北面的宮城縣。但這回,讓我談談三陸,不是那城市,而是 666 這個特別的數字吧!

666 被人們稱為野獸數 (Beast Number),亦有人稱作魔鬼標誌 (Sign of the Devil), 在惡怖片中總和魔鬼一道,因而令人聯想起惡怖和邪惡的事情。666 這數,可從聖經默示錄 (啟示錄 Revelation) 找到:

 

「在這裡應有智慧:凡有明悟的,就讓他計算一下那獸的數字,因為是人的數字,牠的數字是六百六十六。」(默 13:18)

 

不少聖經學者相信,那獸的數字是指當時羅馬國王尼祿 (Nero Claudius Caesar Augustus Germanicus 37-68),大家也知道尼祿不是什麼的一個好皇帝,對當時的基督徒更是諸多逼害。所以數字本身並不存在什麼神奇,更不用因而受怕。對,若有人因 666 而生恐懼成病,我們稱之為六百六十六恐懼症 (Hexakosioihexekontahexaphobia),你有沒有 此恐懼?

 

現在,便讓我們回到數學的世界裡,看看 666 有何特別吧!

 

首先,首七個素數的平方和正是 666,即

22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666

 

第二,666的素因子分解式 (Prime Factorization) 為

666 = 2 * 32 * 37

由此看到,666 是史密夫數 (Smith Number),因為 666 的數字總和 (Sum of Digits) = 6 + 6 + 6 = 18,

正好與其素因子的數字總和 (Sum of Digits of Prime Divisors) = 2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 18 相同。

 

第三,666 的歐拉 j 函數 (Euler Totient Function): j(666) = 666 * (1/2) * (2/3) * (36/37) = 216 = 6 * 6 * 6。

 

第四,666 是迴文數 (Palindromic Number),即順看逆看也相同的數。而它更是兩個連續迴文素數 (Palindromic Prime, Palprime) 的總和:

666 = 313 + 353

 

第五,666 是第三十六個三角形數 (Triangular Number),即:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 36 = 666

而 36 又正好是 6 的平方數 (Square Number)。

 

第六,我們可以以含有一至九的和式,使答案為 666,即:

1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666

123 + 456 + 78 + 9 = 666

9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666

 

第七,我們有 666 對孿生素數 (Twin Primes) 在 66 + 666 以內。

 

第八,我們亦有 666 對庫贊素數 (Cousin Primes) 在 66 + 666 以內。

 

第九,由 666 而起,666 * 66 * 6 + 1 是一素數。

 

看了這麼多 666,閣下的六百六十六恐懼症希望沒有發作吧!

 

由六六六而來的

 

接下來,讓我們看看一些因著 666 而來的數種,包括啟示數 (Apocalypse Number)、末日數 (Apocalyptic Number) 、邪惡數 (Evil Number) 和軍團數 (Legion's Number)。

 

啟示數是指數位達 666 的數,第一個費波拿契啟示數 (Fibonacci Apocalypse Number) 為 F3184

啟示素數 (Apocalypse Prime),即長達 666 位的素數,包括有 10665 + 123、 10665 + 1837 、 10665 + 6409、 10665 + 7329、 10665 + 8569 等 (OEIS A115983  )。

 

末日數是指 2 的冪數中,包含整個 666 在內的數,最小的一個已是 2157,而之後的可看下表。

n 2n
157 182687704666362864775460604089535377456991567872
192 6277101735386680763835789423207666416102355444464034512896
218 421249166674228746791672110734681729275580381602196445017243910144
220 1684996666696914987166688442938726917102321526408785780068975640576
222 6739986666787659948666753771754907668409286105635143120275902562304
224 26959946667150639794667015087019630673637144422540572481103610249216
226 107839786668602559178668060348078522694548577690162289924414440996864
243 14134776518227074636666380005943348126619871175004951664972849610340958208
245 56539106072908298546665520023773392506479484700019806659891398441363832832
247 226156424291633194186662080095093570025917938800079226639565593765455331328

  (OEIS A007356  )

 

若然我但們把以 2 為底改一改又如何?看看下表,列舉一些素數的冪數包含 666 的例子:

底 p 最小指數 n 冪數 pn
3 34 16677181699666569
5 102 197215226305252951352932141320696557418301608777255751192569732666015625
7 70 143503601609868434285603076356671071740077383739246066639249
11 42 54763699237492901685126120802225273763666521
13 25 7056410014866816666030739693
17 16 48661191875666868481
19 30 230466617897195215045509519405933293401
23 15 266635235464391245607
29 34 52666193272726422601456708224751866691705278695881

其實數字多了,自然怎樣的組合也有可能出現了。只要指數充分大,別說 666 ,說不定連你家的電話號碼也找到的。

 

邪惡數是指一些數學常數 (Constant)中,其某長度的小數中各數字總和為 666。如圓周率  p ,從其小數中截至第 144個小數位的數字總和便為 666,故 p 是一邪惡數。當然還有別的例子,黃金比例 (Golden Ratio) 的第 146 個小數位、根六的第 139 位等。數學家計算,達至邪惡數的概率約為 1/5 之多。若然一數本身包含 666 字樣,又是邪惡數,那便是一隻邪惡野獸 (Beasty Evil) 了,看下表吧!

邪惡野獸 位數
tanh (666) 74
6661/9 136
p 666 142
6661/666 149
666^(1/666666) 2018

 

我不會,也不願把圓周率  p 列寫 144 個小數位;或把 666^(1/666666) 列寫 2018 個小數位來驗證數字總和是否 666,這容讓各位多疑者自己計算吧。

 

看罷一些細小的數以後,最後介紹的軍團數可不小了。

第一型軍團數 (Legion's Number of the First Kind) 為 666666, 即 27154.....98016 ,合 1881位之大。而第二型軍團數 (Legion's Number of the Second Kind) 可更大了,但只是多了兩個數學符號,第二型軍團數為  666!666!,即 40732541.....17871093760.....0,前省了很多很多的數位,後省了 165*666! 個零,該數達 1.609941*101596 位之大。

 

參考文獻及網址

Caldwell, C. "Prime Curios 666." From Prime Page. http://primes.utm.edu/curios/page.php/666.html.

Weisstein, E. W. "Apocalypse Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ApocalypseNumber.html.

Weisstein, E. W. "Apocalyptic Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ApocalypticNumber.html.

Weisstein, E. W. "Beast Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/BeastNumber.html.

Weisstein, E. W. "Evil Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/EvilNumber.html.

Weisstein, E. W. "Legion's Numbers." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/LegionsNumbers.html.