三陸奇談

看六六六這數

日本有一城市名曰三陸，位於本州北面的宮城縣。但這回，讓我談談三陸，不是那城市，而是 666 這個特別的數字吧！

666 被人們稱為野獸數 (Beast Number)，亦有人稱作魔鬼標誌 (Sign of the Devil)， 在惡怖片中總和魔鬼一道，因而令人聯想起惡怖和邪惡的事情。666 這數，可從聖經默示錄 (啟示錄 Revelation) 找到：

　

「在這裡應有智慧：凡有明悟的，就讓他計算一下那獸的數字，因為是人的數字，牠的數字是六百六十六。」(默 13:18)

　

不少聖經學者相信，那獸的數字是指當時羅馬國王尼祿 (Nero Claudius Caesar Augustus Germanicus 37-68)，大家也知道尼祿不是什麼的一個好皇帝，對當時的基督徒更是諸多逼害。所以數字本身並不存在什麼神奇，更不用因而受怕。對，若有人因 666 而生恐懼成病，我們稱之為六百六十六恐懼症 (Hexakosioihexekontahexaphobia)，你有沒有 此恐懼？

　

現在，便讓我們回到數學的世界裡，看看 666 有何特別吧！

　

首先，首七個素數的平方和正是 666，即

22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666

　

第二，666的素因子分解式 (Prime Factorization) 為

666 = 2 * 32 * 37

由此看到，666 是史密夫數 (Smith Number)，因為 666 的數字總和 (Sum of Digits) = 6 + 6 + 6 = 18，

正好與其素因子的數字總和 (Sum of Digits of Prime Divisors) = 2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 18 相同。

　

第三，666 的歐拉 j 函數 (Euler Totient Function)： j(666) = 666 * (1/2) * (2/3) * (36/37) = 216 = 6 * 6 * 6。

　

第四，666 是迴文數 (Palindromic Number)，即順看逆看也相同的數。而它更是兩個連續迴文素數 (Palindromic Prime, Palprime) 的總和：

666 = 313 + 353

　

第五，666 是第三十六個三角形數 (Triangular Number)，即：

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 36 = 666

而 36 又正好是 6 的平方數 (Square Number)。

　

第六，我們可以以含有一至九的和式，使答案為 666，即：

1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666

123 + 456 + 78 + 9 = 666

9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666

　

第七，我們有 666 對孿生素數 (Twin Primes) 在 66 + 666 以內。

　

第八，我們亦有 666 對庫贊素數 (Cousin Primes) 在 66 + 666 以內。

　

第九，由 666 而起，666 * 66 * 6 + 1 是一素數。

　

看了這麼多 666，閣下的六百六十六恐懼症希望沒有發作吧！

　

由六六六而來的

　

接下來，讓我們看看一些因著 666 而來的數種，包括啟示數 (Apocalypse Number)、末日數 (Apocalyptic Number) 、邪惡數 (Evil Number) 和軍團數 (Legion's Number)。

　

啟示數是指數位達 666 的數，第一個費波拿契啟示數 (Fibonacci Apocalypse Number) 為 F3184。

啟示素數 (Apocalypse Prime)，即長達 666 位的素數，包括有 10665 + 123、 10665 + 1837 、 10665 + 6409、 10665 + 7329、 10665 + 8569 等 (OEIS A115983  )。

　

末日數是指 2 的冪數中，包含整個 666 在內的數，最小的一個已是 2157，而之後的可看下表。

n 2n
157 182687704666362864775460604089535377456991567872
192 6277101735386680763835789423207666416102355444464034512896
218 421249166674228746791672110734681729275580381602196445017243910144
220 1684996666696914987166688442938726917102321526408785780068975640576
222 6739986666787659948666753771754907668409286105635143120275902562304
224 26959946667150639794667015087019630673637144422540572481103610249216
226 107839786668602559178668060348078522694548577690162289924414440996864
243 14134776518227074636666380005943348126619871175004951664972849610340958208
245 56539106072908298546665520023773392506479484700019806659891398441363832832
247 226156424291633194186662080095093570025917938800079226639565593765455331328

  (OEIS A007356  )

　

若然我但們把以 2 為底改一改又如何？看看下表，列舉一些素數的冪數包含 666 的例子：

底 p 最小指數 n 冪數 pn
3 34 16677181699666569
5 102 197215226305252951352932141320696557418301608777255751192569732666015625
7 70 143503601609868434285603076356671071740077383739246066639249
11 42 54763699237492901685126120802225273763666521
13 25 7056410014866816666030739693
17 16 48661191875666868481
19 30 230466617897195215045509519405933293401
23 15 266635235464391245607
29 34 52666193272726422601456708224751866691705278695881

其實數字多了，自然怎樣的組合也有可能出現了。只要指數充分大，別說 666 ，說不定連你家的電話號碼也找到的。

　

邪惡數是指一些數學常數 (Constant)中，其某長度的小數中各數字總和為 666。如圓周率  p ，從其小數中截至第 144個小數位的數字總和便為 666，故 p 是一邪惡數。當然還有別的例子，黃金比例 (Golden Ratio) 的第 146 個小數位、根六的第 139 位等。數學家計算，達至邪惡數的概率約為 1/5 之多。若然一數本身包含 666 字樣，又是邪惡數，那便是一隻邪惡野獸 (Beasty Evil) 了，看下表吧！

邪惡野獸 位數
tanh (666) 74
6661/9 136
p 666 142
6661/666 149
666^(1/666666) 2018

　

我不會，也不願把圓周率  p 列寫 144 個小數位；或把 666^(1/666666) 列寫 2018 個小數位來驗證數字總和是否 666，這容讓各位多疑者自己計算吧。

　

看罷一些細小的數以後，最後介紹的軍團數可不小了。

第一型軍團數 (Legion's Number of the First Kind) 為 666666， 即 27154.....98016 ，合 1881位之大。而第二型軍團數 (Legion's Number of the Second Kind) 可更大了，但只是多了兩個數學符號，第二型軍團數為  666!666!，即 40732541.....17871093760.....0，前省了很多很多的數位，後省了 165*666! 個零，該數達 1.609941*101596 位之大。

　

參考文獻及網址：

Caldwell, C. "Prime Curios 666." From Prime Page. http://primes.utm.edu/curios/page.php/666.html.

Weisstein, E. W. "Apocalypse Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ApocalypseNumber.html.

Weisstein, E. W. "Apocalyptic Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ApocalypticNumber.html.

Weisstein, E. W. "Beast Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/BeastNumber.html.

Weisstein, E. W. "Evil Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/EvilNumber.html.

Weisstein, E. W. "Legion's Numbers." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/LegionsNumbers.html.

　

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