我有我算式 - 傅利曼數

尋回自己的算式

看看下列一些較大的例子：

　

整數	算式
18432	18432 = 18 * 43+2
24390	24390 = 293 + 40
35721	35721 = 35 * 7 * 21
46664	46664 = 66 + 4 * (6 - 4)
52488	52488 = (5 + 2 - 4)8 + 8
67234	67234 = 6 + 72+3 + 4
78975	78975 = 9 * 8775
85358	85358 = (5 + 8) * (38 + 5)
99225	99225 = ((9 - 2) * 9 * 5)2

　

想一想，一個整數的各數字竟可成就一道算式，而其結果又是自己，這是巧合嗎？

　

這當然不是任何一個整數也可以，若我們規定了算式中只能以加、減、乘、除、括號、乘方等運算，這些可以找回自己的數便是傅利曼數 (Friedman Number)。補充一點，對於某些有了找回自己的算式的傅利曼數，那算式可不是唯一的。

　

此等數包括，下表列出首一百個傅利曼數。紅字為好傅利曼數 (Nice Friedman Number)，即算式的順序和數字的順序相同。但算式呢？網友先自行猜試，若真的要看便得花點心思了。

25	52	121	112	125	51+2	126	6*21	127	-1+27	128	28-1	153	3*51	216	62+1	289	(8+9)2	343	(3+4)3
347	4+73	625	56-2	688	8*86	736	7+36	1022	210-2	1024	(4-2)10	1206	6*201	1255	5*251	1260	6*210	1285	(1+28)*5
1296	6(9-1)/2	1395	15*93	1435	35*41	1503	3*501	1530	3*510	1792	7*29-1	1827	21*87	2048	84/2-0	2187	(2+18)7	2349	29*34
2500	502+0	2501	502+1	2502	502+2	2503	502+3	2504	502+4	2505	502+5	2506	502+6	2507	502+7	2508	502+8	2509	502+9
2592	25*92	2737	(2*7)3-7	2916	(1*6*9)2	3125	(3+1*2)5	3159	9*351	3281	(38+1)/2	3375	(3+5+7)3	3378	(7+8)3+3	3685	(36+8)*5	3784	8*473
3864	3*(-8+64)	3972	3+(9*7)2	4088	84-8+0	4096	(4+0*9)6	4106	46+10	4167	46+71	4536	56*34	4624	(64+4)2	4628	682+4	5120	5*210
5776	767-5	5832	(2*5+8)3	6144	6*44+1	6145	6*45+1	6455	(64-5)*5	6880	8*860	7928	892-7	8092	902-8	8192	8*29+1	9025	952+0
9216	1*962	9261	219-6	10192	1012-9	10201	1012-0	10251	51*201	10255	5*2051	10368	8*60+1+3	10426	26*401	10521	21*501	10525	5*2105
10575	15*705	10824	1042+8	10935	15*93+0	11025	(110-5)2	11163	3*611+1	11259	9*1251	11264	11*26+4	11439	9*31*41	11663	16*36-1	11664	1*1*66/4
11665	66/(5-1)+1	11844	84*141	11848	8*1481	11943	9*(113-4)	12006	6*2001	12060	6*2010	12091	1102-9	12100	1102+0	12101	1102+1	12102	1102+2

(OEIS A036057)

　

當然找尋相關算式可不容易，數學家傅利曼 (Erich Friedman) 等以程式找到很多的例子，詳可參看 http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html。

　

更多有趣的例子

傅利曼和另外兩位數學家米赫．雷德 (Mike Reid) 和 方坦拉治 (Philippe Fondanaiche) 還 找到下列兩個有趣的例子：

123456789

((86 + 2 * 7)5 - 91) / 34

987654321

(8 * (97 + 6/2)5 + 1) / 34

　

上面兩個例子是順序的一至九和逆序的九至一，這些數包含一至九，我們稱之為缺零泛位數 (Zeroless Pandigital Number)。若連同零，十個數字也齊全的，我們便稱作泛位數 (Pandigital Number) ，有關此數的介紹，詳可參看《集齊所有數字的數 - 泛位數》一文。

　

當然泛位數的例子不只上二，還更多列於傅利曼的網址，本文選擇其中一些：

152843769	(12368 - 5)4 + 7 - 9	214365978	(6 + 5)8 + 7124 - 3 * 9	387412965	916 - 8 + 1 - 7524
536874912	(1 + 7 - 6)29 + 4 * 8 * 53	672935481	259416 + 7 - 8 - 3	714653289	(26738 - 5)(9 - 1)/4
1026753849	(30249 - 6)7 - 5 * 18	2913408576	539762 + 0 * 148	3528716409	594032 * 1678
4832057169	695132 + 0 * 478	5803697124	761825 - 3 + 0 * 49	6457890321	803612 * (5 - 4)79
7408561329	860732 * 1459	8127563409	901532 * (7 - 6)48	9351276804	967023 - 1 * (5 - 4)8

大家不難發現，那些十位的泛位數的創作原則大致相同，即某數的平方再配以 1 或 0 把「多餘」的數字用掉。這些數全由數學家古夫斯 (Bruno Curfs) 找到的。當然泛位數的例子不只上面的幾個，還有更多未被發現的靜候大家的努力。

　

當然我們也可把傅利曼數的概念推廣到其他進制上，傅利曼的網址中還列舉了一些二進制、三進制至十六進制的例子，這兒不作冗述了。

　

參考文獻及網址：

Friedman, Erich. "Problem of the Month (August 2000)." From Math Magic.  http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html.

Wikipedia. "Friedman Number." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Friedman_number.