我有我算式 - 傅利曼數

回自己的算式

看看下列一些較大的例子:

 

整數 算式
18432 18432 = 18 * 43+2
24390 24390 = 293 + 40
35721 35721 = 35 * 7 * 21
46664 46664 = 66 + 4 * (6 - 4)
52488 52488 = (5 + 2 - 4)8 + 8
67234 67234 = 6 + 72+3 + 4
78975 78975 = 9 * 8775
85358 85358 = (5 + 8) * (38 + 5)
99225 99225 = ((9 - 2) * 9 * 5)2

 

想一想,一個整數的各數字竟可成就一道算式,而其結果又是自己,這是巧合嗎?

 

這當然不是任何一個整數也可以,若我們規定了算式中只能以加、減、乘、除、括號、乘方等運算,這些可以找回自己的數便是傅利曼數 (Friedman Number)。補充一點,對於某些有了找回自己的算式的傅利曼數,那算式可不是唯一的。

 

此等數包括,下表列出首一百個傅利曼數。紅字為好傅利曼數 (Nice Friedman Number),即算式的順序和數字的順序相同。但算式呢?網友先自行猜試,若真的要看便得花點心思了。

25 52 121 112 125 51+2 126 6*21 127 -1+27 128 28-1 153 3*51 216 62+1 289 (8+9)2 343 (3+4)3
347 4+73 625 56-2 688 8*86 736 7+36 1022 210-2 1024 (4-2)10 1206 6*201 1255 5*251 1260 6*210 1285 (1+28)*5
1296 6(9-1)/2 1395 15*93 1435 35*41 1503 3*501 1530 3*510 1792 7*29-1 1827 21*87 2048 84/2-0 2187 (2+18)7 2349 29*34
2500 502+0 2501 502+1 2502 502+2 2503 502+3 2504 502+4 2505 502+5 2506 502+6 2507 502+7 2508 502+8 2509 502+9
2592 25*92 2737 (2*7)3-7 2916 (1*6*9)2 3125 (3+1*2)5 3159 9*351 3281 (38+1)/2 3375 (3+5+7)3 3378 (7+8)3+3 3685 (36+8)*5 3784 8*473
3864 3*(-8+64) 3972 3+(9*7)2 4088 84-8+0 4096 (4+0*9)6 4106 46+10 4167 46+71 4536 56*34 4624 (64+4)2 4628 682+4 5120 5*210
5776 767-5 5832 (2*5+8)3 6144 6*44+1 6145 6*45+1 6455 (64-5)*5 6880 8*860 7928 892-7 8092 902-8 8192 8*29+1 9025 952+0
9216 1*962 9261 219-6 10192 1012-9 10201 1012-0 10251 51*201 10255 5*2051 10368 8*60+1+3 10426 26*401 10521 21*501 10525 5*2105
10575 15*705 10824 1042+8 10935 15*93+0 11025 (110-5)2 11163 3*611+1 11259 9*1251 11264 11*26+4 11439 9*31*41 11663 16*36-1 11664 1*1*66/4
11665 66/(5-1)+1 11844 84*141 11848 8*1481 11943 9*(113-4) 12006 6*2001 12060 6*2010 12091 1102-9 12100 1102+0 12101 1102+1 12102 1102+2

(OEIS A036057)

 

當然找尋相關算式可不容易,數學家傅利曼 (Erich Friedman) 等以程式找到很多的例子,詳可參看 http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html

 

更多有趣的例子

傅利曼和另外兩位數學家米赫.雷德 (Mike Reid) 和 方坦拉治 (Philippe Fondanaiche) 還 找到下列兩個有趣的例子:

123456789 ((86 + 2 * 7)5 - 91) / 34 987654321 (8 * (97 + 6/2)5 + 1) / 34

 

上面兩個例子是順序的一至九和逆序的九至一,這些數包含一至九,我們稱之為缺零泛位數 (Zeroless Pandigital Number)。若連同零,十個數字也齊全的,我們便稱作泛位數 (Pandigital Number) ,有關此數的介紹,詳可參看《集齊所有數字的數 - 泛位數》一文。

 

當然泛位數的例子不只上二,還更多列於傅利曼的網址,本文選擇其中一些:

152843769 (12368 - 5)4 + 7 - 9 214365978 (6 + 5)8 + 7124 - 3 * 9 387412965 916 - 8 + 1 - 7524
536874912 (1 + 7 - 6)29 + 4 * 8 * 53 672935481 259416 + 7 - 8 - 3 714653289 (26738 - 5)(9 - 1)/4
1026753849 (30249 - 6)7 - 5 * 18 2913408576 539762 + 0 * 148 3528716409 594032 * 1678
4832057169 695132 + 0 * 478 5803697124 761825 - 3 + 0 * 49 6457890321 803612 * (5 - 4)79
7408561329 860732 * 1459 8127563409 901532 * (7 - 6)48 9351276804 967023 - 1 * (5 - 4)8

大家不難發現,那些十位的泛位數的創作原則大致相同,即某數的平方再配以 1 或 0 把「多餘」的數字用掉。這些數全由數學家古夫斯 (Bruno Curfs) 找到的。當然泛位數的例子不只上面的幾個,還有更多未被發現的靜候大家的努力。

 

當然我們也可把傅利曼數的概念推廣到其他進制上,傅利曼的網址中還列舉了一些二進制、三進制至十六進制的例子,這兒不作冗述了。

 

參考文獻及網址

Friedman, Erich. "Problem of the Month (August 2000)." From Math Magic.  http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html.

Wikipedia. "Friedman Number." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Friedman_number.