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希羅三角形四面體

 

希羅公式

找一個三角形的三邊均為整數可不難,如三邊為 (3, 4, 5) 或 (4, 8, 11) 均可,只要符合三角不等式 (Triangle Inequalities):即任一邊長短於其餘兩邊長之和。

 

大家可以想一想,規限最長邊為 10 的整邊三角形到底有多少個?

我們大可以把最短的長度細分來考察這問題:

若最短邊為 1,只有 (1, 10, 10) 一個可能;

若最短邊為 2,只有 (2, 9, 10) 和 (2, 10, 10)  兩個可能;

若最短邊為 3,則有 (3, 8, 10) 、 (3, 9, 10) 和 (3, 10, 10) 三個可能;

若最短邊分別為 4、 5,分別有四個和五個可能;

但若最短邊為 6 時,由於第三邊一定不短於 6,故有 (6, 6, 10) 、 (6, 7, 10)、 (6, 8, 10)、 (6, 9, 10) 和 (6, 10 ,10) 五個可能;

於是若最短邊分別為 7、8、9、10,則分別有四個、三個、兩個和一個可能;

所以總共有不同的整邊三角形合 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 30 個。

 

但若然我們要求這三角形的面積均為整數,則不是易事了。

這樣的三角形,我們稱為整邊希羅三角形 (Integer Heronian Triangle)。

(註:希羅三角形 (Heronian Triangle) 只要求三邊長和面積均為有理數而已。但有理數和整數的差異用倍大便可解決。)

大家不難理解,這個名字的由來與希羅公式 (Heron's Formula) 有關。

中學的同學相信在課堂也和希羅公式打個招呼。希羅公式是給定三角形的三邊 a, b, c,計算半周界 (Semiperimeter)  s,再求出該三角形的面積的公式。

同學不可不知,這其實這是婆羅摩笈多公式 (Brahmagupta's formula) 的一個特例:

婆羅摩笈多公式便是給定圓內接四邊形的四邊 a, b, c, d,計算半周界  s,再求出該四邊形的面積的公式。

若我們把其中一邊的長度視作「零」,便可得出希羅公式。

 

 

希羅三角形

要找希羅三角形可不易,但看看畢達哥拉斯數 (Pythagoras Numbers),這不是整邊整面積三角形的一個例子嗎?

但會不會有不是直角三角形的整邊希羅三角形呢?

看看 (5, 5, 6) 一個例子,半周界為 8,面積的平方為 8*3*3*2 = 144,即面積為 12。

但顯然 52 + 52 = 50,和 62 = 36 不相等。所以這 (5, 5, 6) 正是一個非直角的整邊希羅三角形。

 

1952 年數學家卡邁克爾 (Robert Daniel Carmichael, 1879 - 1967) 找到一道公式:

三邊長分別為 n (m2 + k2)、m (n2 + k2) 及 (m + n) (mn - k2),

這樣半周界會是 mn (m + n) ,而面積則是 kmn (m + n) (mn - k2)。

要驗證這樣的三角形為整邊希羅三角形可不難,但要知此式可求出所有的整邊希羅三角形則不易了。

 

那我們找些數試試此公式吧:

m n k a =  n (m2 + k2) b = m (n2 + k2) c =  (m + n) (mn - k2) s 面積
1 2 1 4 5 3 6 6
1 4 1 8 17 15 20 60
2 2 1 10 10 12 16 48
2 3 2 24 26 10 30 120
3 6 1 60 111 153 162 2754
3 6 2 78 120 126 162 4536
4 1 1 17 8 15 20 60
4 4 1 68 68 120 128 1920
5 4 4 164 160 36 180 2880
7 7 2 371 371 630 686 61740

 

希羅四面體

有人把希羅三角形的觀念推廣至立體,建立希羅四面體 (Heronian Tetrahedron)。顧名思義,即一四面體,其六邊均為有理數,不單如此,我們要求該四面體的四個面的面積和其體積也是有理數,這樣可不易了。

 

先給大家一個例子:

該四面體的六邊分別為 (51, 52, 53, 80, 84, 117),體積為 18144。

而四面面積分別為 (53-80-117) 面,面積 1170; (51-84-117) 面,面積 1800; (52-80-84) 面,面積 1890; (51-52-53) 面,面積 2016。

有六個數字,很難說誰是最小的希羅四面體,不過上述的是唯一一個六邊也少於 157 的。

還有沒有別的例子,有的,但可不多:

如 (25, 39, 56, 120, 153, 160),至於六邊如何配置,面積和體積是多少?則留給各網友作習作了。

 

對於給定體積或總表面積,所得的希羅四面體可不是唯一的:

又如 (116, 208, 276, 325, 429, 595) 和 (116, 208, 276, 325, 507, 595) 這一對希羅四面體的總表面積同為 64584。

又如 (185, 185, 306, 672, 697, 697) 和 (153, 680, 680, 697, 697, 1344) 這一對希羅四面體的體積同為 3564288。

 

也有的希羅四面體的四個面均有全等的銳角三角形組成,如 (148, 195, 203)、(533, 875, 888)、(1183, 1479, 1804) 等所組成的希羅三角形也可拼成希羅四面體。

 

這四面體的研習空間很多,正因我們所知不多。也許六個數字的巧合湊來,也許不然,還讓大家揭示吧。

 

參考文獻及網址:

Weisstein, E. W. "Heronian Tetrahedron." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HeronianTetrahedron.html.

Weisstein, E. W. "Heronian Triangle." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html.

Weisstein, E. W. "Heron's Formula." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html.