希羅三角形四面體
希羅公式
找一個三角形的三邊均為整數可不難，如三邊為 (3, 4, 5) 或 (4, 8, 11) 均可，只要符合三角不等式 (Triangle Inequalities)：即任一邊長短於其餘兩邊長之和。
大家可以想一想，規限最長邊為 10 的整邊三角形到底有多少個？
我們大可以把最短的長度細分來考察這問題：
若最短邊為 1，只有 (1, 10, 10) 一個可能；
若最短邊為 2，只有 (2, 9, 10) 和 (2, 10, 10) 兩個可能；
若最短邊為 3，則有 (3, 8, 10) 、 (3, 9, 10) 和 (3, 10, 10) 三個可能；
若最短邊分別為 4、 5，分別有四個和五個可能；
但若最短邊為 6 時，由於第三邊一定不短於 6，故有 (6, 6, 10) 、 (6, 7, 10)、 (6, 8, 10)、 (6, 9, 10) 和 (6, 10 ,10) 五個可能；
於是若最短邊分別為 7、8、9、10，則分別有四個、三個、兩個和一個可能；
所以總共有不同的整邊三角形合 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 30 個。
但若然我們要求這三角形的面積均為整數，則不是易事了。
這樣的三角形，我們稱為整邊希羅三角形 (Integer Heronian Triangle)。
(註：希羅三角形 (Heronian Triangle) 只要求三邊長和面積均為有理數而已。但有理數和整數的差異用倍大便可解決。)
大家不難理解，這個名字的由來與希羅公式 (Heron's Formula) 有關。
中學的同學相信在課堂也和希羅公式打個招呼。希羅公式是給定三角形的三邊 a, b, c，計算半周界 (Semiperimeter) s，再求出該三角形的面積的公式。
同學不可不知，這其實這是婆羅摩笈多公式 (Brahmagupta's formula) 的一個特例：
婆羅摩笈多公式便是給定圓內接四邊形的四邊 a, b, c, d，計算半周界 s，再求出該四邊形的面積的公式。
若我們把其中一邊的長度視作「零」，便可得出希羅公式。
希羅三角形
要找希羅三角形可不易，但看看畢達哥拉斯數 (Pythagoras Numbers)，這不是整邊整面積三角形的一個例子嗎？
但會不會有不是直角三角形的整邊希羅三角形呢？
看看 (5, 5, 6) 一個例子，半周界為 8，面積的平方為 8*3*3*2 = 144，即面積為 12。
但顯然 52 + 52 = 50，和 62 = 36 不相等。所以這 (5, 5, 6) 正是一個非直角的整邊希羅三角形。
1952 年數學家卡邁克爾 (Robert Daniel Carmichael, 1879 - 1967) 找到一道公式：
三邊長分別為 n (m2 + k2)、m (n2 + k2) 及 (m + n) (mn - k2)，
這樣半周界會是 mn (m + n) ，而面積則是 kmn (m + n) (mn - k2)。
要驗證這樣的三角形為整邊希羅三角形可不難，但要知此式可求出所有的整邊希羅三角形則不易了。
那我們找些數試試此公式吧：
| m | n | k | a = n (m2 + k2) | b = m (n2 + k2) | c = (m + n) (mn - k2) | s | 面積 |
| 1 | 2 | 1 | 4 | 5 | 3 | 6 | 6 |
| 1 | 4 | 1 | 8 | 17 | 15 | 20 | 60 |
| 2 | 2 | 1 | 10 | 10 | 12 | 16 | 48 |
| 2 | 3 | 2 | 24 | 26 | 10 | 30 | 120 |
| 3 | 6 | 1 | 60 | 111 | 153 | 162 | 2754 |
| 3 | 6 | 2 | 78 | 120 | 126 | 162 | 4536 |
| 4 | 1 | 1 | 17 | 8 | 15 | 20 | 60 |
| 4 | 4 | 1 | 68 | 68 | 120 | 128 | 1920 |
| 5 | 4 | 4 | 164 | 160 | 36 | 180 | 2880 |
| 7 | 7 | 2 | 371 | 371 | 630 | 686 | 61740 |
希羅四面體
有人把希羅三角形的觀念推廣至立體，建立希羅四面體 (Heronian Tetrahedron)。顧名思義，即一四面體，其六邊均為有理數，不單如此，我們要求該四面體的四個面的面積和其體積也是有理數，這樣可不易了。
先給大家一個例子：
該四面體的六邊分別為 (51, 52, 53, 80, 84, 117)，體積為 18144。
而四面面積分別為 (53-80-117) 面，面積 1170； (51-84-117) 面，面積 1800； (52-80-84) 面，面積 1890； (51-52-53) 面，面積 2016。
有六個數字，很難說誰是最小的希羅四面體，不過上述的是唯一一個六邊也少於 157 的。
還有沒有別的例子，有的，但可不多：
如 (25, 39, 56, 120, 153, 160)，至於六邊如何配置，面積和體積是多少？則留給各網友作習作了。
對於給定體積或總表面積，所得的希羅四面體可不是唯一的：
又如 (116, 208, 276, 325, 429, 595) 和 (116, 208, 276, 325, 507, 595) 這一對希羅四面體的總表面積同為 64584。
又如 (185, 185, 306, 672, 697, 697) 和 (153, 680, 680, 697, 697, 1344) 這一對希羅四面體的體積同為 3564288。
也有的希羅四面體的四個面均有全等的銳角三角形組成，如 (148, 195, 203)、(533, 875, 888)、(1183, 1479, 1804) 等所組成的希羅三角形也可拼成希羅四面體。
這四面體的研習空間很多，正因我們所知不多。也許六個數字的巧合湊來，也許不然，還讓大家揭示吧。
參考文獻及網址：
Weisstein, E. W. "Heronian Tetrahedron." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HeronianTetrahedron.html.
Weisstein, E. W. "Heronian Triangle." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html.
Weisstein, E. W. "Heron's Formula." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html.
