稀有數稀有嗎?

 

近日,中國和日本,正為稀土元素 (Rare Earth Elements) 的貿易吵得火熱。所謂稀土元素,即指元素周期表 (Periodic Table) 中鈧 (Scandium)、釔 (Yttrium)、鑭系(Lanthanide) 化學元素的統稱。這亦是很多科技產品中不可缺少的成份。全世界的稀土礦藏有一半在中國,再加上歐美等地缺乏這方面的資源;再加上中國是唯一可以提供全部十七種稀土元素的國家:這樣才成存了這個「稀土大國」。

 

化學中有稀有的稀土元素,數學中也有稀有的稀有數 (Rare Number),到底什麼是稀有數呢?

 

我們考慮一正整數 R,其該數的數字反過來 (Reverse) 寫,如 137 => 731、 9876 => 6789 ,這數字稱作 S,我們得要求 S 不可大於 R。

若使 R+S 及 R-S 都是平方數 (Square Number) ,則 R 是稀有數。

 

如 R = 65,則 S = 56,和為 65 + 56 = 121 = 112,差為 65 - 56 = 9 = 32,所以 65 為稀有數,這亦是最小的非迴文稀有數 (Non-palindromic Rare Number),

次小的例子已是 R = 621770 了,即 S = 77126, 和為 698896 = 8362,差為 544644 = 7382:單看兩個例子已知此數真的十分稀有。

接下來還有稀有數: 81089082, 2022652202, 2042832002, 868591084757, 872546974178, 872568754178, 6979302951885, 20313693904202 ... (OEIS A035519 )

 

若 R 為一迴文數 (Palindromic Number),如 2、242 等反過來讀也一樣的數,只要 R 本身可使 2R 為一平方數便行。

原因很簡單,因為這時 R = S,即和為 2R 而差為 0。0不用說了,自然是平方數,問題便落在 2R 之上。

看看 R = 242 的情況吧!S = 242,R + S = 484 = 222,R - S = 0 = 02,是故這是一稀有數,即迴文稀有數 (Palindromic Rare Number)。

 

其實我們反過來考慮 2R =  222、2022、20022、200022 ... 便可很到無限個迴文稀有數。但非迴文稀有數是否存有無限個,還是一個末知之謎。

 

我們在 1020 內只找到 18 個奇稀有數,如 65, 868591084757, 6979302951885, 6157577986646405, 8052956026592517, ... (OEIS A059755 ),這更可以說是稀中之稀了。

至今未發現有稀有數為素數,因不是個位為 5 的奇稀有數僅六個且全是個位為 7 的。這是巧合還是必然?素數和稀有數是本質上的衝突還是可以並存?還是一個末知之謎。

 

參考文獻及網址

Gupta, S. S. "Rare Number." From Number Recreations. http://www.shyamsundergupta.com/rare.htm.