在1, 2, 3, 4, 5 以後

 

「1, 2, 3, 4, 5, ...」,問問大家,下一個數會是什麼呢?

我相信,這樣顯淺的問題,連幼兒園的小朋友也會回答的,答案是「6」。這是自然數 (Natural Number) 或正整數 (Positive Integer)。

但我看不然只有「6」這個答案,看看我的怪論吧!

 

答案可以是「7」,1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, ... (OEIS A005100),這是虧數 (Deficient Number),即除去了自己的其他因子總和少於自己的數。

答案可以是「11」,1, 2, 3, 4, 5, 11, 75, 171, 172, 384, 457, 616, 643, 1391, 1613, ... (OEIS A006862), 這是素連乘素數 (Primorial Prime) 中可使 pn# + 1 為素數的 n 值。其中 pn# 為不少於第 n 個素數的所有素數乘積,詳可參看《素連乘與合連乘素數》。

答案可以是「3」,1, 2, 3, 4, 5, 3, 7, 8, 9, 5, 11, 4, 13, 7, 5, 16, 17, 9, 19, 5, ... (OEIS A034699), 這是正整數 n 中的最大素冪因子 (Prime Power Factor),如 12 = 22 * 3 當中 4 =  22 為最大的素冪因子。

答案可以是「0」,1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, ... , 這是正整數 n 除以 6 的餘數 (Remainder)。

答案可以是「12」,1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, 384, 585, 1680 ...  (OEIS A007662), 這是四階乘數 (Quadruple Factorial Number)  n!!!! = n * (n-4) * (n-8) * ... ,詳可參看《階乘與多階乘素數》。

答案可以是「99」,1, 2, 3, 4, 5, 99, 190, 2292, 2293, 2324, 3432, 6197, ... (OEIS A010348), 把這些數以六進制表示,會成自戀數 (Narcissistic Number)。自戀數是什麼?可參看《自戀的水仙花》。

 

也許會有更多更不可思議的答案,因為在 AT&T On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (整數數列線上大全) http://oeis.org/search?q=Seis.html 中輸入「1, 2, 3, 4, 5」便找到超過 3000 道包含這些整數相繼出現的數列,當然當中大部分的後續數為 6,我只不過刻意挑出一些後續數不為 6 的數列來談談而已。其實研習數學不該墨守成規,也許很顯淺的問題,換個角度來看,也有出人意表的發現來。

 

註:二零一一年六月二十八日,應上水官立中學劉松基老師之邀,向該校中六學生講素數,以本頁內容為稿,講稿可在此下載