自守數

自守數

我們兒時或會給人們問過這樣的問題 6²⁰⁰⁰⁰ 的個位是什麼？這當然不難，因為我們知道 6 的方冪 (Power) 即 6²、6³、6⁴ 等的個位也是 6。由此推論 6²⁰⁰⁰⁰ 的個位也是 6 了。

其實這些經過自乘後，最末的數個位仍可保持為原來的數的數，我們稱為自守數 (Automorphic Number)。

以下為一些自守數的例子：

我們不難發現除 1 以外，其餘的自守數的個位也是 5 和 6。其實這也不難理解的。

假設存有某 k 位自守數 n，即

n² = a * 10^k + n

n² - n = a * 10^k

n² - n = 0 (mod 10^k)

n (n - 1) = 0 (mod 2^k) 及 n (n - 1) = 0 (mod 5^k)

是故 n 分別在模 2^k 及 5^k 中等於 0 或 1。若兩者均取 0，即 n = 0；若兩者均取 1 ，即 n = 1。

若我們分別在兩個模中一個取 1，一個取 0，那便得到個位是 5 或 6 的數了。

由此可知自守素數 (Automorphic Prime) 僅此一個，5。

三階自守數

我們可以把自守數中平方的概念推廣至立方，即一數經過立方後，最末的數個位仍可保持為原來的數的數，我們稱為三階自守數 (Trimorphic Number)。

以下為一些三階自守數的例子：

我們知道一自守數也會同樣是三階自守數，但相反來說則不一定了，如 9 、24、875 等也不是自守數。

另外我們亦找到 9、 99、 999 等一些純位數 (Repdigit)，而此清一色是 9 呢？但問是否所有這類的數也是三階自守數呢？答案是肯定的。為何？

假設存有某 k 位三階自守數 n，即

n³ = a * 10^k + n

n³ - n = a * 10^k

n³ - n = 0 (mod 10^k)

n (n - 1) (n + 1) = 0 (mod 2^k) 及 n (n - 1) (n + 1) = 0 (mod 5^k)

是故 n 分別在模 2^k 及 5^k 中等於 0 、1 或 -1。若兩者均取 0，即 n = 0；若兩者均取 1 ，即 n = 1：這和自守數相雷同。但若兩者均取 - 1 ，那便是我們看見的「純九數」了。

但留意一點，這裡因為在模 2^k 的運算實與平常運算不同，所得的解或會更多。如在模 8 下，除了 -1, 0 , 1外，3 亦是一解；在模 32 下，15 同是一解等。

與進位制相關的數種

其實我們亦可在別的進制下定義自守數或更高階的自守數，那 1 當然在任何進制也自守了。其實任何與數字或數字相關的數種，如自守數、自戀數 (Narcissistic Number)、泛位數 (Pandigital Number) 或純元數 (Repunit) 等也可定義在不同的進制中，以增研究對象。

參考文獻及網址：

Wikipedia. "Automorphic Number" From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphic_number.

Wikipedia. "Trimorphic Number" From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Trimorphic_number.