多加一數的數列 - 連續數數列

連續數數列

本章會為大家介紹一些很特別的數列,我們稱為連續數數列 (Consecutive Number Sequence)。

連續數數列是指一數列中每一數為在上一數的右方多加一連續數 (Consecutive Numbers) 。但由於連續數的種類不同,我們亦有不同的數列:如連續平方數數列 (Consecutive Square Number Sequence) 、連續立方數數列 (Consecutive Cubic Number Sequence) 、連續素數數列 (Consecutive Prime Sequence) 等等。由於數學家沙馬雲達基 (Florentin Smarandache 1954 - ) 對此等不同數列作了很多的研究,故我們亦稱連續數數列為沙馬雲達基數列 (Smarandache Sequences)。

 

連續數數列

我們先由最簡單的開始,這連續數數列或稱為連續整數數列 (Consecutive Integer Sequence),亦可稱為沙馬雲達基數列:如 1, 12, 123, 1234 等。(OEIS A007908)

 

在數列的首 9 項,即由 1 至 123456789 ,我們可以用公式 Cn = 1/81 * (10n+1 - 9n - 10) 求出。但第 10 項,即 12345678910 或以後,我們不易以公式求出。但對某一數的數位多少,我們依然可用一比較複雜的公式求出來。且看下表:

d
n 值範圍
數位
1
1-9
n
2
10-99
9 + 2(n-9)
3
100-999
9 + 90*2 + 3(n-99)
4
1000-9999
9 + 90*2 + 900*3 + 4(n-999)

所以數位 D(n) = (n+1)d - (10d - 1)/9 。

 

數學家費魯雲 (Micha Fleuren) 在 1999年在 n=200 以內找不到素數。到現在魏爾斯史甸 (Eric W. Weisstein 1969- ) 把上限推至 26040 仍找不到素數。

若我們把連續整數數列反轉來看:1, 21, 321, 4321..... (OEIS A000422)。在數列的首 9 項,即由 1 至 987654321 ,我們可以用公式 Cn = 1/81 * (9*10n*n - 10n + 1) 求出,但第 10 項,即 10987654321 以後則不可以了。在此數列中,暫知只有第 82項: 828180...54321 (長 155 位) 和第 37765 項:377653776437763...54321 (長 177719 位) 為素數。前者是由史提芬 (R. W. Stephen) 於 1998 年找到的,而後者則是由魏爾斯史甸在 2010年找到的。

 

若我們在連續整數數列前加上一個小數點和一個零的話,這便成了卓普紐維常數 (Champernowne Constant) 0.12345678910111213141... 這是其中一個常見的超越數 (Transcendental Number) 的例子。

卓普紐維 (David Gawen Champernowne, 1912-2000) 是一名英國經濟學家和數學家, 曾任教於英國兩所著名學府:牛津大學 (University of Oxford) 和劍橋大學 (University of Cambridge)。當他研究卓普紐維常數時,即 1933年,他還不過是劍橋大學的一名本科生而已。

 

連續奇數數列

我們若連續奇數一一寫出來,便有:1, 13, 135, 1357, 135711, ...... (OEIS A019519),我們稱為連續奇數數列 (Consecutive Odd Number Sequence)。當中的素數如 13, 135791113151719 等出現在數列的第 2, 10, 16, 34, 49, 2570項。(OEIS A046036)。但魏爾斯史甸指出在 17040 項以內找不到別的素數,其中第 2570項,即 1357911......51375139 達 9125數位,正是由魏爾斯史甸在 1998 年找到的。

有奇數自然有偶數,我們也可同樣定義連續偶數數列 (Consecutive Even Number Sequence):2, 24, 246, 2468, 246810, ...... (OEIS A019520) 但當中肯定是找不到奇素數的,偶素數也只有 2 了。

 

連續素數數列

我們若連續素數一一寫出來,便有:2, 23, 235, 2357, 235711, ...... (OEIS A019518),我們稱為連續素數數列。我們亦稱此數列為沙馬雲達基 - 韋倫數列 (Smarandache-Wellin Sequence)。當中的素數為 2, 23, 2357 等出現在第 1, 2, 4, 128, 174, ...... 項中 (OEIS A046035)。

若我們在連續素數數列前加上一個小數點和一個零的話,這便成了高柏寧 - 愛爾特希常數 (Copeland - Erdos Constant) 0.23571113171923293137... 這是由美國數學家高柏寧 (Arthur Herbert Copeland 1898-1970) 和匈牙利數學家愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996) 於 1946年提出的。

 

連續三角形數數列

至於連續三角形數數列 (Consecutive Triangular Number Sequence),即我們把連續三角形數一一寫出來:1, 13, 136, 13610, 1361015, ...... (OEIS A078795)。當中的素數為 13, 136101521 兩個而已出現在第  2 和  6 項中。首 4800 項也再找不到第三個素數了。

 

連續次方數數列

同理,我們可定義連續平方數數列: 1, 14, 149, 14916, 1491625, ...... (OEIS A019521) 。 在首 26426 項中只有第 149 項是素數。

至於連續立方數數列: 1, 18, 1827, 182764, 182764125, ...... (OEIS A019522) 。 在首 22812 項中找不到素數。

 

困難多羅羅

我們的純元數 (Repunit) 或 Pi 數列 也都是同屬這樣一類數位遞增數列。研究這些數列中的數的素性,面對的困難有三:

數值增加得很快,縱然使用大型的計算機也不過處理數萬個數項而已。
   
我們對此等數列的規律不了解 (如 Pi 數列) 或 不易用數式表示,更甚者是根本沒有規律可言。這等均使在當中找尋素數更感困難。
   
最後,當然是我們對其數值或因子的特性不了解,以至不可以像測試梅森素數 (Mersenne Prime) 或費馬素數 (Fermat Prime) 般減少測試素因子的數目。

但本人相信有心的數學家是不會懼怕這些困難,我們的計算工具日新月異,要攻克連續數數列,只是遲早之事。

 

參考文獻及網址

Weisstein, E. W. "Champernowne Constant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html.

Weisstein, E. W. "Consecutive Number Sequences." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ConsecutiveNumberSequences.html.

Wikipedia. "Champernowne Constant." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Champernowne_constant.

Wikipedia. "Copeland-Erdos Constant." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Copeland%E2%80%93Erd%C5%91s_constant.

Wikipedia. "D. G. Champernowne." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/D._G._Champernowne.