多加一數的數列 - 連續數數列

連續數數列

本章會為大家介紹一些很特別的數列，我們稱為連續數數列 (Consecutive Number Sequence)。

連續數數列是指一數列中每一數為在上一數的右方多加一連續數 (Consecutive Numbers) 。但由於連續數的種類不同，我們亦有不同的數列：如連續平方數數列 (Consecutive Square Number Sequence) 、連續立方數數列 (Consecutive Cubic Number Sequence) 、連續素數數列 (Consecutive Prime Sequence) 等等。由於數學家沙馬雲達基 (Florentin Smarandache 1954 - ) 對此等不同數列作了很多的研究，故我們亦稱連續數數列為沙馬雲達基數列 (Smarandache Sequences)。

　

連續數數列

我們先由最簡單的開始，這連續數數列或稱為連續整數數列 (Consecutive Integer Sequence)，亦可稱為沙馬雲達基數列：如 1, 12, 123, 1234 等。(OEIS A007908)

　

在數列的首 9 項，即由 1 至 123456789 ，我們可以用公式 Cn = 1/81 * (10n+1 - 9n - 10) 求出。但第 10 項，即 12345678910 或以後，我們不易以公式求出。但對某一數的數位多少，我們依然可用一比較複雜的公式求出來。且看下表：

d
n 值範圍
數位
1
1-9
n
2
10-99
9 + 2(n-9)
3
100-999
9 + 90*2 + 3(n-99)
4
1000-9999
9 + 90*2 + 900*3 + 4(n-999)

所以數位 D(n) = (n+1)d - (10d - 1)/9 。

　

數學家費魯雲 (Micha Fleuren) 在 1999年在 n=200 以內找不到素數。到現在魏爾斯史甸 (Eric W. Weisstein 1969- ) 把上限推至 26040 仍找不到素數。

若我們把連續整數數列反轉來看：1, 21, 321, 4321..... (OEIS A000422)。在數列的首 9 項，即由 1 至 987654321 ，我們可以用公式 Cn = 1/81 * (9*10n*n - 10n + 1) 求出，但第 10 項，即 10987654321 以後則不可以了。在此數列中，暫知只有第 82項： 828180...54321 (長 155 位) 和第 37765 項：377653776437763...54321 (長 177719 位) 為素數。前者是由史提芬 (R. W. Stephen) 於 1998 年找到的，而後者則是由魏爾斯史甸在 2010年找到的。

　

若我們在連續整數數列前加上一個小數點和一個零的話，這便成了卓普紐維常數 (Champernowne Constant) 0.12345678910111213141... 這是其中一個常見的超越數 (Transcendental Number) 的例子。

卓普紐維 (David Gawen Champernowne, 1912-2000) 是一名英國經濟學家和數學家， 曾任教於英國兩所著名學府：牛津大學 (University of Oxford) 和劍橋大學 (University of Cambridge)。當他研究卓普紐維常數時，即 1933年，他還不過是劍橋大學的一名本科生而已。

　

連續奇數數列

我們若連續奇數一一寫出來，便有：1, 13, 135, 1357, 135711, ...... (OEIS A019519)，我們稱為連續奇數數列 (Consecutive Odd Number Sequence)。當中的素數如 13, 135791113151719 等出現在數列的第 2, 10, 16, 34, 49, 2570項。(OEIS A046036)。但魏爾斯史甸指出在 17040 項以內找不到別的素數，其中第 2570項，即 1357911......51375139 達 9125數位，正是由魏爾斯史甸在 1998 年找到的。

有奇數自然有偶數，我們也可同樣定義連續偶數數列 (Consecutive Even Number Sequence)：2, 24, 246, 2468, 246810, ...... (OEIS A019520) 但當中肯定是找不到奇素數的，偶素數也只有 2 了。

 

連續素數數列

我們若連續素數一一寫出來，便有：2, 23, 235, 2357, 235711, ...... (OEIS A019518)，我們稱為連續素數數列。我們亦稱此數列為沙馬雲達基 - 韋倫數列 (Smarandache-Wellin Sequence)。當中的素數為 2, 23, 2357 等出現在第 1, 2, 4, 128, 174, ...... 項中 (OEIS A046035)。

若我們在連續素數數列前加上一個小數點和一個零的話，這便成了高柏寧 - 愛爾特希常數 (Copeland - Erdos Constant) 0.23571113171923293137... 這是由美國數學家高柏寧 (Arthur Herbert Copeland 1898-1970) 和匈牙利數學家愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996) 於 1946年提出的。

　

連續三角形數數列

至於連續三角形數數列 (Consecutive Triangular Number Sequence)，即我們把連續三角形數一一寫出來：1, 13, 136, 13610, 1361015, ...... (OEIS A078795)。當中的素數為 13, 136101521 兩個而已出現在第  2 和  6 項中。首 4800 項也再找不到第三個素數了。

　

連續次方數數列

同理，我們可定義連續平方數數列： 1, 14, 149, 14916, 1491625, ...... (OEIS A019521) 。 在首 26426 項中只有第 149 項是素數。

至於連續立方數數列： 1, 18, 1827, 182764, 182764125, ...... (OEIS A019522) 。 在首 22812 項中找不到素數。

　

困難多羅羅

我們的純元數 (Repunit) 或 Pi 數列 也都是同屬這樣一類數位遞增數列。研究這些數列中的數的素性，面對的困難有三：

數值增加得很快，縱然使用大型的計算機也不過處理數萬個數項而已。
　 　
我們對此等數列的規律不了解 (如 Pi 數列) 或 不易用數式表示，更甚者是根本沒有規律可言。這等均使在當中找尋素數更感困難。
　 　
最後，當然是我們對其數值或因子的特性不了解，以至不可以像測試梅森素數 (Mersenne Prime) 或費馬素數 (Fermat Prime) 般減少測試素因子的數目。

但本人相信有心的數學家是不會懼怕這些困難，我們的計算工具日新月異，要攻克連續數數列，只是遲早之事。

　

參考文獻及網址：

Weisstein, E. W. "Champernowne Constant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html.

Weisstein, E. W. "Consecutive Number Sequences." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ConsecutiveNumberSequences.html.

Wikipedia. "Champernowne Constant." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Champernowne_constant.

Wikipedia. "Copeland-Erdos Constant." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Copeland%E2%80%93Erd%C5%91s_constant.

Wikipedia. "D. G. Champernowne." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/D._G._Champernowne.

　

Free Web Hosting