快樂的素數

快樂或不快樂

數也有快樂或不快樂的,說笑吧!

快樂數 (Happy Number) 的定義也頗為複雜,首先用 s1 來代表一正整數 s0 的所有數字的平方和 (Sum of Square of Digits),再以 s2 來代表 s1 的所有數字的平方和,如此下去。如果一數經過多次「轉化」後變成 1 的話,這數便快樂了。

不快樂數 (Unhappy Number) 的定義則簡單得多。MathWorld 的定義如下:

A number which is not happy is said to be unhappy. (一數不是快樂的便是不快樂。)

不只是數,人也是一樣。

 

我們看看例子吧:

不快樂數如 4 ,42=16 ,12+62=37 ,32+72=58 , 接下來是 89、145、42、20,又回到 4 。原來不快樂數的「轉化」是最終周期性,它們不快樂的原因大概是因為兜圈子吧!

因為「轉化」過程是以數字的乘、加作計算,故任何數字重排也不會影響其快樂與否,如 23 是快樂數,32也是快樂的。

那麼什麼數是快樂的,在 100 以內有 1、7、10、13、19、23、28、31、32、44、49、68、70、79、82、86、91、94、97 和 100 。(OEIS A007770 )

當中不乏素數,這便快樂素數 (Happy Prime), 如 7、13、19、23、31、79、97、103、109、139等。(OEIS A035497 )

 

快樂多次方

若我們把快樂數的轉化方式改變,改以各數字的立方 (Sum of Cube of Digits) 和或四次方和,又會怎樣呢?

看看一例子吧!

立方和: 2 變成 8,接下來是 512,53 + 13 + 23 = 134,跟著會變成 92、737、713、371,以後也是 371 了。

四次方和: 2 變成 16,接下來是  14 + 64 = 1297,跟著會變成 8979、17154,接下來 8 次轉化後成了 8208,,以後也是 8208了。

 

我們不難發現若把次方擴大,會出現兩個情況:

1. 出現一些「奇點」,如立方中的 371,其實平方和中的 1 也是「奇點」之一。

2. 出現循環的現象。

不過我們也可把「奇點」說成得一個數的循環。

於是數學家開始向這方面埋頭苦幹,尋找循環和奇點。

 

他們稱這循環為重現數字不變數 (Recurring Digital Invariant 或 RDI) 並以循環中最小的數為標記。數學家麥達奇 (Joseph S. Madachy) 在這方面有一定貢獻,他的著作列出部份重現數字不變元的資料:

次數
RDI
長度
2
4
8
3
55, 136, 160, 919
3, 2, 3, 2
4
1138, 2178
7, 2
5
244, 8294, 8299, 9044, 9045, 10933, 24584, 58618, 89883
28, 10, 6, 10, 22, 4, 12, 2, 2
6
17148, 63804, 93531, 239459, 282595
30, 2, 4, 10, 3
7
80441, 86874, 253074, 376762, 922428, 982108 以及其他五個數
92, 56, 27, 30, 14, 21
8
6822, 7973187, 8616804
9
322219, 2274831, 20700388, 以及其他十一個數
10
20818070 以及其他五個數

另外數學家亦發現一些數在經過一某次方的轉化後,依然故我,麥達奇稱這些數為完全數字不變數 (Perfect Digital Invariant 或 PDI)。而若次方數與該數的數位多少剛好相同的話,我們便稱之為超完全數字不變數 (Pluperfect Digital Invariant 或 PPDI) 或簡單稱為自戀數或水仙花數 (Narcissistic Number) 或岩士唐數 (Armstrong Number) 。 另文《自戀的水仙花》將會為大家詳談和自戀數或水仙花數相關的數學。

 

參考文獻及網址

Guy, R. K. "Happy Numbers." §E34 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 234-235, 1994.

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 021 - Happy Primes." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_021.htm.

Weisstein, E. W. "Happy Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HappyNumber.html.

Weisstein, E. W. "Recurring Digital Invariant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RecurringDigitalInvariant.html.

Weisstein, E. W. "Unhappy Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/UnhappyNumber.html.

吳鶴齡 幻方及其他 - 娛樂數學經典名題' (第二版) , 北京:科學出版社, pp 203-206, 2003

談祥柏 "跌進如來佛的手心"自 數:上帝的寵物 , 上海:上海教育出版社, pp 72-74, 1996