自戀的水仙花

自戀數

有些數,我們把各數字 (Digit) 的乘冪 (Power) 求和,而冪數則是該數的位數。若結果剛巧和原來的數相同,我們便稱這些數為「自戀數」或「水仙花數」(Narcissistic Number) ,亦有人稱此數為「岩士唐數」(Armstrong Number)。

 

看看一例子吧!

370:33 + 73 + 03 = 370。

92727:95 + 25 + 75 + 25 + 75 = 92727。

此數最先由數學家麥達奇 (Joseph S. Madachy) 在 1966 年提出,他稱這些數為超完全數字不變數 (Pluperfect Digital Invariant 或 PPDI) 或簡單稱為自戀數或水仙花數或岩士唐數。

 

為何會把水仙花和自戀連上關係呢?那得說說故事了,依據希臘傳說,納西斯 (Narcissus) 是一個美男子,常常在池邊流連,欣賞自己的倒影。山林女神愛歌 (Echo) 愛上了他,苦苦追求,但納西斯卻對愛歌不瞅不睬。女神失戀以後,終日鬱鬱不歡,遠離同伴。愛神維納斯 (Venus) 知道此事以後,她一方面為愛歌的不知自愛而惱恨,罰她不能說話,只能重覆她所聽到的最後的聲音。另一方面,她也決定對納西斯作出懲治。維納斯把納西斯的影子變成絕色美女,納西斯因此愛得發狂,可算是世上最早的自戀狂了。他日夜守在水旁,不思飲食,更不睡覺,終於憔悴而死。別的神仙也對納西斯的死感到可惜,於是把他變成水仙花,讓他美下去。是故水仙花的英文名也是 Narcissus。

 

自戀數的數學

當然,我們知道隨著次方增大,數字乘方總和增長速度一定遠超過數字本身,故有不等式:

從不等式可以計出 n 最大為 60。而其實當 n 很大時,9 的出現次數也急速增加,減少了自戀數出現的可能。

 

而中國長沙國防科技大學 (National University of Defense Technology) 計算機學院的劉江寧 (Jiangning Liu) 採用不定方程的解法,證明 n > 39 後無解,從而找出所有自戀數。

下表列出所有合共 88 個自戀數:

n 次數
n-自戀數
n 次數
n-自戀數
1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2
不存在
3
153, 370, 371, 407
4
1634, 8208, 9474
5
54748, 92727, 93084
6
548834
7
1741725, 4210818, 9800817, 9926315
8
24678050, 24678051, 88593477
9
146511208, 472335975, 534494836, 912985153
10
4679307774
11
32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914
12
不存在
13
不存在
14
28116440335967
15
不存在
16
4338281769391370, 4338281769391371
17
21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035
18
不存在
19
1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826
20
63105425988599693916
21
128468643043731391252, 499177399146038697307
22
不存在
23
21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943
24
174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093
25
1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938
26
不存在
27
121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765
28
不存在
29
14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295
30
不存在
31
1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915
32
17333509997782249308725103962772
33
186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991
34
1122763285329372541592822900204593
35
12679937780272278566303885594196922
36
不存在
37
1219167219625434121569735803609966019
38
12815792078366059955099770545296129367
39
115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401
n>39
不存在

 

戀上我的次方

自戀數是冪數是該數本身的位數多少,若把冪數改為該數位上的數字,那麼便有完全數冪不變數 (Perfect Digit-to-digit Invariant 或 PDDI),亦有人稱之為閔希豪森數 (Munchausen Number)。

如 3435 = 33 + 44 + 33 + 55 = 27 + 256 + 27 + 3125。

又如 438579088 = 44 + 33 + 88 + 55 + 77 + 99 + 00 + 88 + 88 = 256 + 27 + 16777216 + 3125 + 823543 + 387420489 + 0 + 16777216 + 16777216。

(留意,我們在這裡定義  00 = 0。)

 

當然 0 和 1 也是完全數冪不變數的一例了。除了這裡說過的四個以外,十進制的世界中便再沒有新的完全數冪不變數了。

 

參考文獻及網址

Weisstein, E. W. "Narcissistic Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/NarcissisticNumber.html.

Weisstein, E. W. "Recurring Digital Invariant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RecurringDigitalInvariant.html.

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王青建 "自戀數的推廣"自 數學開心辭典 , 北京:科學出版社, pp 12, 2008

吳鶴齡 幻方及其他 - 娛樂數學經典名題' (第二版) , 北京:科學出版社, pp 203-206, 2003

談祥柏 "跌進如來佛的手心"自 數:上帝的寵物 , 上海:上海教育出版社, pp 72-74, 1996

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